Doğru Denklemleri 1

Bulunduğunuz Sayfa :
Anasayfa
/
2.Ünite Uzayda Doğru ve Düzlem
/
Doğru Denklemleri 1

2.1.1 Uzayda Doğru Denklemleri

Şekildeki gibi $XYZ$ koordinat sisteminde $\overrightarrow{v}=(a,b,c)$ ve $A(x_0,y_0,z_0)$ noktası verilsin. A noktasından geçen ve $\overrightarrow{v}$ ile aynı doğrultulu olan doğru $d$ olsun. Bu doğru üzerinde bir $P(x,y,z)$ noktası alalım. Şekilden de görüleceği üzere $d$ ile $\overrightarrow{v}$ aynı doğrultulu olduğundan $$\overrightarrow{AP}\parallel\overrightarrow{v}$$ olacaktır.

Diğer bir anlamda bu iki vektör lineer bağımlıdır, yani biri diğeri cinsinden yazılabilir. O halde bir $k\in R$ için $$\overrightarrow{AP}=k.\overrightarrow{v}$$ olur. Bu eşitliği biraz açarsak $$\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}=k.\overrightarrow{v}$$ yani

$$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}+k.\overrightarrow{v}$$

elde edilir. Bu eşitliğe $d$ doğrusunun vektörel denklemi denir.$\overrightarrow{v}$ ne de doğrunun doğrultu (doğrultman) vektörü denir.

Elde ettiğimiz bu denklemde $P$ ve $A$ noktaları ile $\overrightarrow{v}$ nün koordinatlarını yerine yazarsak

$$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+k(a,b,c)$$ olacağından

$$x=x_0+k.a$$

$$y=y_0+k.b$$

$$z=z_0+k.c$$

parametrik denklemi elde edilir. Denklemdeki parametre $k$ gerçek sayısıdır. Dikkat ederseniz bu sayı değiştikçe doğrunun rastgele seçilen $P(x,y,z)$ noktaları elde edilecektir.

Şimdi de elde ettiğimiz bu parametrik denklemde $k$ parametresini her bir eşitlikte yalnız bırakırsak, koordinatlar arasında

$$k=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$$

bağıntısını elde edilir. Bu bağıntıya da doğrunun kartezyen denklemi denir ve

$$d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$$

biçiminde gösterilir.

Örnek 1

$R^3$ te $A(-1,2,3)$ noktasından geçen ve $\overrightarrow{v}=(3,-4,2)$ ne paralel olan doğrunun vektörel, parametrik ve kartezyen denklemlerini bulalım:

Çözüm

Vektörel denklem:$$(x,y,z)=(-1,2,3)+k.(3,-4,2)$$ olur.

Parametrik denklem:

$$x=-1+3k$$

$$y=2-4k$$

$$z=3+2k$$

olur.

Kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z-3}{2}$$ olur.

Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.

Video burada görüntülenecektir.

Örnek 2

$R^3$ te $A(-2,3,-1)$ ve $B(-3,-2,1)$ noktasından geçen doğrunun kartezyen denklemini bulalım:

Çözüm

Doğrultu vektörü verilmeyen bu soruda doğrultu vektörü olarak $\overrightarrow{AB}$ nü alabiliriz.

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(-1,-5,2)$$ olur.

O halde A noktasına göre kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y-3}{-5}=\dfrac{z+1}{2}$$ olur.

B noktasına göre ise kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x+3}{-1}=\dfrac{y+2}{-5}=\dfrac{z-1}{2}$$ olur.

Farklı ifade edilen bu denklemlerin ikisi de aynı doğruyu ifade eder.

Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.

Video burada görüntülenecektir.

Örnek 3

$R^3$ te $A(0,3,4)$ noktasından geçen ve $\overrightarrow{v}=(2,-1,0)$ ne paralel olan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini bulalım:

Çözüm

Parametrik denklem:

$$x=0+2.k \Rightarrow x=2k$$

$$y=3+(-1).k \Rightarrow y=3-k$$

$$z=4+0.k \Rightarrow z=4$$

olur.

Dikkat ederseniz $z$ değeri $k$ parametresinden bağımsızdır. Bu durum kartezyen denklemde aşağıdaki biçimde ifade edilir:

Kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}; z=4$$ olur. $z$ değerinin $k$ parametresinden bağımsız olması $d$ doğrusunun $z=4$ düzleminde yer alması anlamına gelir. Bir sonraki ünitede düzlemleri inceledikten sonra bu durumu daha iyi anlayacaksınızdır.

Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.

Video burada görüntülenecektir.

Örnek 4

$R^3$ te denklemi

$$d_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-4}; z=4$$

$$d_2:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{z+1}{5}; y=2$$

$$d_3:\dfrac{y-1}{7}=\dfrac{z+2}{6}; x=-1$$

olan doğruların doğrultu vektörlerini bulalım:

Çözüm

Bir önceki örnekte doğru denkleminde doğruya ait noktalar için $z$ değerinin sabit olarak $z=4$ olduğunu görmüştük. Dikkat ederseniz o örnekte doğrultu vektörünün $z$ koordinatı 0 olduğu için bu durumla karşılaşmıştık. Çünkü parametrik denklemde 0 değeri $k$ parametresini yutmuştu.

Bu nedenle üstündeki noktaların herhangi bir koordinatı sabit bir sayıya eşit olan doğruların doğrultu vektörlerinin bahsi geçen bu koordinatı 0 olmalıdır. O halde doğruların doğrultu vektörleri sırasıyla $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ ve $\overrightarrow{v_3}$ olmak üzere

$$\overrightarrow{v_1}=(3,-4,0)$$

$$\overrightarrow{v_2}=(2,0,5)$$

$$\overrightarrow{v_3}=(0,7,6)$$

olur. Doğrultu vektörü doğruyla aynı doğrultulu her vektör olabileği için, bu vektörler doğruların tek ve geçer doğrultu vektörleri değillerdir. Bu vektörlerin 0 dan farklı bir skalerle çarpılmış halleri de doğrultu vektörü olarak değerlendirilebilir. Örneğin bulduğumuz ilk vektörün 2 katı $$\overrightarrow{v_1}=(6,-8,0)$$ $d_1$ doğrusu için doğrultu vektürü olabilir.