Düzlem Denklemleri 1

Bulunduğunuz Sayfa :
Anasayfa
/
2.Ünite Uzayda Doğru ve Düzlem
/
Düzlem Denklemleri 1

2.1.3 Uzayda Düzlem Denklemleri 1

Şekildeki gibi $XYZ$ koordinat sisteminde bir $A$ noktası ile lineer bağımsız $\overrightarrow{u}$ ve $\overrightarrow{v}$ verilsin. Verilen bu vektörleri $A$ noktasına taşıyalım. Bu durumda $A$ noktasından geçen ve bu vektörlere paralel olan tek bir düzlem vardır. Bu düzleme $E$ düzlemi diyelim. Düzlemin rastgele bir noktası $P$ olsun. Bu durumda $\overrightarrow{AP}$ nü düzlemin lineer bağımsız $\overrightarrow{u}$ ve $\overrightarrow{v}$ türünden ifade edebiliriz. Yani bir $k_1 \in R$ ve bir $k_2 \in R$ için $$\overrightarrow{AP}=k_1.\overrightarrow{u}+k_2.\overrightarrow{v}$$ olacaktır.

Şekildeki $P$ noktasını hareket ettirerek bu durumu inceleyebilirsiniz.

Bu denklemi biraz daha açarsak: $$\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}=k_1.\overrightarrow{u}+k_2.\overrightarrow{v}$$ yani

$$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}+k_1.\overrightarrow{u}+k_2.\overrightarrow{v}$$

elde edilir. Bu eşitliğe $k_1$ ve $k_2$ parametrelerinden dolayı $E$ düzleminin parametrik denklemi denir. $\overrightarrow{u}$ ve $\overrightarrow{v}$ ne de düzlemin doğrultu vektörleri denir.

Örnek 1

$R^3$ te $A(1,-3,0)$ noktasından geçen ve doğrultu vektörleri $\overrightarrow{a}=(2,-1,3)$ ile $\overrightarrow{b}=(-1,0,4)$ olan düzlemin parametrik denklemini bulalım:

Çözüm

Basit bir örnekle başladık

Parametrik denklem:$$(x,y,z)=(1,-3,0)+k_1.(2,-1,3)+k_2.(-1,0,4)$$ olur.

Biz bir adım ötesine geçelim ve denklemdeki $k_1$ ve $k_2$ parametrelerini koordinatlara dağıtarak $x$, $y$ ve $z$ yi bulalım:

$$x=1+2k_1-k_2$$

$$y=-3-k_1$$

$$z=3k_1+4k_2$$

olur. Dikkat ederseniz $k_1=-y-3$ dir. Ayrıca $x$ i 4 ile çarpıp $z$ ile toplarsak $4x+z=4+11k_1$ elde edilir. Bu iki eşitliği beraber düşünürsek

$$4x+z=4+11(-y-3)$$

$$4x+11y+z=-29$$

olur. Bu denkleme düzlemin kapalı denklemi denir. Zahmetli bir biçimde bulduğumuz bu denklemi bir sonraki yazımızda daha pratik olarak elde edeceğiz.

Soruda geçen düzlemin çizimini aşağıdaki videoda izleyebilirsiniz.

Video burada görüntülenecektir.

Örnek 2

$R^3$ te $A(5,-3,4)$ noktasından geçen ve doğrultu vektörleri $\overrightarrow{a}=(-3,2,0)$ ile $\overrightarrow{b}=(1,4,3)$ olan düzlemin bir noktası $P(-2,m,1)$ olduğuna göre $m$ gerçek sayısının değerini bulunuz.