\(R^3\) te şekildeki gibi paralel veya çakışık \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemleri verilsin. Her iki durumda da düzlemlerin normal vektörleri \(\overrightarrow{N_1}\) ve \(\overrightarrow{N_2}\) aynı doğrultulu olacağından \(E_1\parallel E_2\) veya \(E_1=E_2\) ise
$$\overrightarrow{N_1}\times\overrightarrow{N_2}=\overrightarrow{0}$$
Düzlemlerin kapalı denklemleri
$$E_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ ve
$$E_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$ olsun.
Bu durumda
$$\overrightarrow{N_1}=(A_1,B_1,C_1)$$ ve
$$\overrightarrow{N_2}=(A_2,B_2,C_2)$$ olacaktır.
Koordinatları verilen lineer bağımlı iki vektör için dış çarpımları \(\overrightarrow{0}\) olması dışında
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$$ koşulu kullanılabilir. Fakat bu eşitlikler bize düzlemlerin paralel mi yoksa çakışık mı olduğu bilgisini vermez. Bu bilgi için \(\dfrac{D_1}{D_2}\) oranının da kıyaslanması gerekir. Eğer bu oran da eşitse düzlemler doğaldır ki eş yani çakışık; eşit değilse düzlemler paraleldir. Özetle
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1=E_2$$
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\neq \dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1\parallel E_2$$
Şimdi de bir doğru (arakesit doğrusu) boyunca kesişen düzlemlerin durumunu inceleyelim.
Kesişen düzlemlerin normal vektörleri aynı doğrultulu değillerdir. Yani normal vektörleri lineer bağımsızdırlar. Bu nedenle şekildeki gibi paralel olmayan farklı iki düzlem bir doğru boyunca kesişecektir. Bu doğruya düzlemlerin arakesit doğrusu dendiğini daha önce söylemiştik. Dikkat ederseniz \(d\) doğrusu her iki düzleminde doğrusu olacaktır. Bu nedenle düzlemlerin normal vektörleri \(d\) doğrusuna da dik olacaktır. O halde doğrunun bir \(\overrightarrow{u}\) doğrultu vektörüne de dik olurlar. Bu durumda \(\overrightarrow{u}\) nü düzlemlerin normal vektörlerinin dış çarpımı olarak alabiliriz. Yani arakesit \(d\) doğrusunun doğrultu vektörü
$$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{N_1}\times\overrightarrow{N_2}$$
Örnek 1
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:2x-3y+kz=1\) ve \(E_2:mx+6y+(1-k)z=-1\) olan düzlemler birbirine paralel olduğuna göre \(m\) ve \(k\) değerlerini bulunuz.
Çözüm
Paralellik koşulu gereği
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\neq \dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1\parallel E_2$$ olacağından
$$\dfrac{2}{m}=\dfrac{-3}{6}=\dfrac{k}{1-k}\neq \dfrac{-1}{1}$$ olur.
\(\dfrac{2}{m}=\dfrac{-3}{6}\) eşitliğinden \(m=-4\) ve
\(\dfrac{-3}{6}=\dfrac{k}{1-k}\) eşitliğinden \(k=-1\) bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:2x+3y+4z=5\) ve \(E_2:mx+(m-1)y+(m-2)z=-3\) olan düzlemler birbirine dik olduğuna göre \(m\) gerçek sayısının değerini bulunuz.
Çözüm
Birbirine dik olan düzlemlerin şekildeki gibi normal vektörleri de birbirine dik olacaktır. Bu nedenle diklik koşulu gereği
$$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0$$
dır.\(E_1\) düzleminin normal vektörü \(\overrightarrow{N_1}=(2,3,4)\) ve
\(E_2\) düzleminin normal vektörü \(\overrightarrow{N_2}=(m,m-1,m-2)\) olduğundan
$$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0\Rightarrow 2m+3(m-1)+4(m-2)=0$$ yani
$$2m+3m-3+4m-8=0\Rightarrow m=\dfrac{11}{9}$$
bulunur.Örnek 3
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:-x+y+2z+1=0\) ve \(E_2:2x-y+z-2=0\) olan düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz.
Çözüm
Konu kısmında bahsettiğimiz üzere arakesit doğrusunun doğrultu vektörü düzlemlerin normal vektörlerinin dış çarpımıyla elde edilebilir.
\(\overrightarrow{N_1}=(-1,1,2)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(2,-1,1)\) olur. Doğrunun doğrultu vektörüne \(\overrightarrow{u}\) diyelim. Bu durumda
$$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{N_1}\times \overrightarrow{N_2}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\-1 &1 &2 \\ 2 &-1 &1 \end{vmatrix}=(3,5,-1)$$ bulunur. Doğrunun denklemini yazabilmek için her iki düzleme de ait olan bir nokta bulmalıyız. Bu noktaya \(A(x,y,z)\) diyelim ve \(z=0\) alalım. Düzlem denklemlerinde yerine yazarsak
$$\begin{matrix}-x+y=-1\\ 2x-y=2\end{matrix}$$ denklemleri elde edilir. Bu denklemler ortak çözülürse \(x=1\) ve \(y=0\) olur. Demek ki \(A(1,0,0)\) noktası düzlemlerin arakesit doğrusu üzerindedir. O halde bir \(k\in R\) ve doğrunun herhangi bir \(P(x,y,z)\) noktası için doğrunun vektörel denklemi
$$P=A+k.\overrightarrow{u}\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,0)+k(3,5,-1)$$ olurken kartezyen denklemi de
$$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{-1}$$ olur.
Aşağıdaki 3 boyutlu şekilde durumu inceleyiniz.