$$E_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ ve
$$E_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$
olsun. Bu durumda bir \(k\in R\) için
$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+k(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$
denklemine \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemlerinin belirttiği düzlem demetinin denklemi denir. Burada \(k\) ile çarpılan denklemin \(E_2\) olması şart değildir. Diğeri de olabilirdi.
Denklemin elde edilişi için tıklayın!
Herkesin ilgisini çekmeyeceği için isteğe bağlı olsun diye bu biçimde yazıyı gizledim. Gelelim bu denklemin nasıl elde edildiğine:
Öncelikle şekildeki gibi düzlemlerin arakesiti üzerinde bir \(A(x_0,y_0,z_0)\) noktası alalım ve düzlemlerin \(\overrightarrow{N_1}=(A_1,B_1,C_1)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(A_2,B_2,C_2)\) nü bu noktaya taşıyalım. Benzer biçimde düzlem demetini temsilen \(E\) düzlemi üzerinde bir \(P(x,y,z)\) noktası alalım ve bu düzlemin normal vektörü \(\overrightarrow{N}\) nü de \(A\) noktasına taşıyalım. Bu durumda bu üç vektör lineer bağımlı olacaktır. Çünkü \(A\) noktasından geçen ve arakesit doğrusuna dik olan tek bir düzlem vardır ve bu vektörler bu düzlem üzerindedir. O halde bir \(k_1\in R\) ve \(k_2\in R\) için
$$\overrightarrow{N}=k_1.\overrightarrow{N_1}+k_2.\overrightarrow{N_2}\quad (1)$$ olacaktır.
Ayrıca \(\overrightarrow{N}\perp \overrightarrow{AP}\) olacağından $$<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N}>=0$$ olmalıdır. Bu eşitlikte \((1)\) de elde ettiğimiz eşitliği yerine yazarsak
$$<\overrightarrow{AP},k_1.\overrightarrow{N_1}+k_2.\overrightarrow{N_2}>=k_1<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N_1}>+k_2.<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N_2}>=0 \quad (2)$$ elde edilir. Bu arada \(\overrightarrow{AP}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\) dır. Şimdi \((2)\) de bu koordinatları ve normal vektörlerinin koordinatlarını yerine yazıp iç çarpımı alırsak
$$\begin{matrix}k_1[A_1x+B_1y+C_1z-(A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0)]+\\\\k_2[A_2x+B_2y+C_2z-(A_2x_0+B_2y_0+C_2z_0)]=0 \quad (3)\end{matrix}$$ olur. \(A(x_0,y_0,z_0)\) noktası her iki düzleme de ait olduğundan, koordinatları düzlem denklemlerinde yerine yazılırsa $$A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0=-D_1$$ ve $$A_2x_0+B_2y_0+C_2z_0=-D_2$$ olduğu görülür. O halde bu eşitlikleri \((3)\) de yerine yazarsak
$$k_1[A_1x+B_1y+C_1z+D_1]+k_2[A_2x+B_2y+C_2z+D_2]=0$$ elde edilir. Eşitliğin her iki tarafını da \(k_1\) e bölüp \(\dfrac{k_2}{k_1}=k\) dersek
$$\begin{matrix}A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\dfrac{k_2}{k_1}(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\\\\ \Rightarrow A_1x+B_1y+C_1z+D_1+k(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 \end{matrix}$$ elde edilir.
Örnek 1
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:x-2y+z-2=0\) ve \(E_2:3x-y-z-4=0\) olan düzlemlerin arakesit doğrusundan ve \(A(1,0,0)\) noktasından geçen düzlemin denklemini bulunuz.
Çözüm
Verilen düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen her düzlem bu doğrunun belirteceği düzlem demeti içindedir. Bu düzleme \(E\) dersek, bir \(k\in R\) için:
$$E:x-2y+z-2+k(3x-y-z-4)=0$$ olacaktır. Verilen \(A(1,0,0)\) noktası bu düzleme ait olduğundan denklemi sağlamalıdır. O halde yerine yazalım:
$$1-2+k(3-4)=0\Rightarrow k=-1$$ bulunur. Şimdi bu değeri yerine yazıp \(E\) düzleminin denklemini elde edelim.
$$E:x-2y+z-2+(-1)(3x-y-z-4)=0\Rightarrow E:-2x-y+2z+2=0$$ bulunur.