Soru 1
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(3,-4,5)\) ve \(\overrightarrow{b}=(7,-1,0)\) nün belirttiği açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm 1
\(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) arasındaki açının ölçüsü \(\alpha\) olsun. Bu durumda $$cos\alpha=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||}$$ olacağından $$cos\alpha=\dfrac{3.7+(-4).(-1)+5.0}{\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}.\sqrt{7^2+(-1)^2}}=\dfrac{25}{50}=\dfrac{1}{2}$$ bulunur. O halde $$\alpha=60^{\circ}$$ dir.
Soru 2
 |
Şekildeki dik koordinat sisteminde \(||\overrightarrow{v}||=4\), \(||\overrightarrow{u}||=6\) ve bu iki vektör arasındaki açının ölçüsü \(60^{\circ}\) olduğuna göre \(<2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>\) iç çarpımının değeri kaçtır? |
Çözüm 2
Görsellik açısından aşağıdaki şekli istediğiniz biçimde döndürebilirsiniz.
Verilen iç çarpımı açarsak $$<2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>=2||\overrightarrow{u}||^2+3<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>-2||\overrightarrow{v}||^2$$ olduğu görülür. Bu eşitlikte $$<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>=||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.cos\alpha=4.6.cos60^{\circ}=12$$ olur. Diğer bilinenleri de yerine yazarsak $$<2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>=2.6^2+3.12-2.4^2=76$$ sonucunu elde ederiz.
Soru 3
\(R^3\) de verilen \(A(2,-1,0)\), \(B(k,3,-2)\) ve \(C(12,-1,k)\) noktaları için \(\overrightarrow{AB}\perp (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})\) olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm 3
Öncelikle verilen vektörleri bulalım: $$\overrightarrow{AB}=(k-2,4,-2)$$ $$\overrightarrow{AC}=(10,0,k)$$ $$\overrightarrow{BC}=(12-k,-4,k+2)$$ bulunur. Buradan $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=(22-k,-4,2k+2)$$ elde edilir. \(\overrightarrow{AB}\perp (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})\) olduğundan diklik koşulu gereği \(<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}>=0\) olmalıdır. O halde bu iç çarpım yapılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa $$k^2-20k+64=0$$ denklemi elde edilir. Bu denklemden \(k=16\) ve \(k=4\) bulunur.
Soru 4
 |
Şekildeki \(\overrightarrow{v}=(3,0,-3\sqrt{3})\) nün \(z\) ekseni ile yaptığı geniş açının ölçüsü kaç derecedir? |
Çözüm 4
İstenilen geniş açının ölçüsünü bulmak için \(z\) eksenini temsilen \(\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)\) vektörünü kullanabiliriz. Böylece istenilen \(alpha\) açı ölçüsü için $$cos\alpha=\dfrac{<\overrightarrow{e_3},\overrightarrow{v}>}{||\overrightarrow{e_3}||.||\overrightarrow{v}||}=\dfrac{-3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$$ olur. O halde \(\alpha=150^{\circ}\) dir. Görsel destek için aşağıdaki şekli inceleyin.
Soru 5
 |
(\(0<\theta<90^{\circ}\)) olmak üzere \(XYZ\) dik koordinat sistemindeki şekilde \(\overrightarrow{v}\) nün eksenlerin pozitif kollarıyla yaptığı açı ölçüleri sırasıyla \(\theta\), \(135^{\circ}\) ve \(60^{\circ}\) dir. Buna göre \(\theta\) kaç derecedir? |
Çözüm 5
Verilen açı ölçülerinin kosinüslerine vektörün doğrultu kosinüsleri dendiğini ve kareleri toplamının 1 e eşit olduğunu önceki dersimizde göstermiştik. O halde $$cos^2\theta+cos^2135^{\circ}+cos^260^{\circ}=1$$ $$cos^2\theta+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1\Rightarrow cos^2\theta=\dfrac{1}{4}$$ olur. O halde $$\theta=60^{\circ}$$ dir. Görsel destek için aşağıdaki şekli inceleyiniz.