İzdüşüm vektörü

Bulunduğunuz Sayfa :
Anasayfa
/
1.Ünite Uzayda Vektörler
/
Ders 4
/
İzdüşüm vektörü

1.4.11 İzdüşüm Vektörü

Şekildeki gibi başlangıç noktaları $P$ olan $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{b}$ vektörleri verilsin. $R\in PT$ ve $[SR]\perp PT$ olacak biçimde bir $R$ noktası alalım. Bu durumda oluşacak olan $\overrightarrow{PR}$ ne $\overrightarrow{a}$ nün $\overrightarrow{b}$ üzerine izdüşüm vektörü denir. (Aşağıdaki şeklin 3 boyutlu biçimi bu sayfanın alt kısmındadır.)

Dikkat ederseniz $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ için (1.şekil) $||\overrightarrow{PR}||=||\overrightarrow{a}||.cos\theta$ olurken, $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$ için (2.şekil) $||\overrightarrow{PR}||=-||\overrightarrow{a}||.cos\theta$ olur. Çünkü ikinci durumda $cos\theta<0$ olacağından $||\overrightarrow{PR}||>0$ yapabilmek için eşitliği $-$ ile çarpmalıyız. O halde her iki durumuda ifade edecek $$||\overrightarrow{PR}||=|||\overrightarrow{a}||.cos\theta|$$ eşitliğini yazabiliriz. Genel olarak her iki eşitlikteki $||\overrightarrow{a}||.cos\theta$ ifadesine $\overrightarrow{a}$ nün $\overrightarrow{b}$ üzerine skaler izdüşümü (izdüşüm vektörünün işaretli boyu) denir. Hatırlarsak $\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{b}$ nün iç çarpımı $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||.cos\theta$$ dır. Bu eşitlikten skaler izdüşümü çekersek $$||\overrightarrow{a}||.cos\theta=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||}$$ bulunur. O halde iz düşüm vektörünün uzunluğu $$||\overrightarrow{PR}||=\left | \dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||} \right |$$ olur. $\overrightarrow{PR}$ nün kendisini ise $\overrightarrow{b}$ ile aynı yönlü birim vektörü skaler izdüşümle çarparak bulabiliriz. Yani $$\overrightarrow{PR}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||}.\dfrac{1}{||\overrightarrow{b}||}.\overrightarrow{b}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||^2}.\overrightarrow{b}$$ bulunur.

Aşağıdaki şekilde $S$ ve $T$ noktlarını hareket ettirerek izdüşüm vektörünün nasıl değiştiğini görebilirsiniz.

Soru 1

$R^3$ de $\overrightarrow{a}=(5,-4,3)$ nün $\overrightarrow{b}=(-1,1,1)$ üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğunu kaç birimdir?

Çözüm 1

İzdüşüm vektörü $\overrightarrow{c}$ olsun. Bu durumda $$||\overrightarrow{c}||=\left | \dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||} \right |=\left | \dfrac{-5-4+3}{\sqrt{1+1+1}} \right |=2\sqrt{3}$$ bulunur.

Soru 2

$R^3$ de $\overrightarrow{a}=(0,-7,5)$ nün $\overrightarrow{b}=(2,-1,1)$ üzerine izdüşüm vektörünü bulunuz.

Çözüm 2

İzdüşüm vektörü $\overrightarrow{c}$ olsun. Bu durumda $$\overrightarrow{c}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||^2}.\overrightarrow{b}$$ olacağından $$\overrightarrow{c}=\dfrac{0+7+5}{6}.\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{b}=(4,-2,2)$$ bulunur.