Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!
R3 te şekildeki gibi bir E:Ax+By+Cz+D=0 düzlemi ve P(x0,y0,z0) noktası verilsin. Düzlem üzerinde rastgele bir A(x1,y1,z1) noktası alalım ve normal →N=(A,B,C) nü A noktasına taşıyalım. Bu durumda P noktasının düzleme olan uzaklığı |AR| olacaktır. Dikkat ederseniz aslında bu uzaklık →AP nün →N üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğudur. O halde P noktasının E düzlemine olan uzaklığını d(P,E) ile gösterirsek
Şimdi bu eşitliği biraz açalım. Fakat öncelikle A(x1,y1,z1) noktası düzleme ait olduğundan, düzlem denklemini sağlamalıdır. Yani
Ax1+By1+Cz1+D=0⇒D=−(Ax1+By1+Cz1)
Öte yandan
→AP=(x0−x1,y0−y1,z0−z1)
<→AP,→N>=Ax0+By0+Cz0−(Ax1+By1+Cz1)=Ax0+By0+Cz0+D
O halde bu eşitlikleri (1) de yerine yazarsak
Örnek 1
R3 te P(4,−1,3) noktasının E:x−2y+2z−3=0 düzlemine olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm
Basit bir formülde yerine yazma sorusu olduğu için d(P,E)=|4+2+6−3|√12+(−2)2+22=93=3
Örnek 2
R3 te P(−1,2,k) noktasının E:x−y+z−1=0 düzlemine olan uzaklığı 4√3 birim olduğuna göre k gerçek sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm
d(P,E)=|−1−2+k−1|√12+(−1)2+(−1)2=|k−4|√3
|k−4|√3=4√3
Örnek 3
R3 te O(0,0,0) noktasının eksenleri A(1,0,0),B(0,0,2) ve C(0,3,0) noktalarında kesen ABC düzlemine olan uzaklığını bulunuz. |
Çözüm
Eksenleri kestiği noktaları bilinen düzlemin denkleminden (ABC) nin denklemini bulalım:
x1+y3+z2=1⇒6x+2y+3z−6=0
d(O,(ABC))=|0+0+0−6|√62+22+32=67
Örnek 4
R3 te E:2x+y−z=4 düzleminden √6 birim uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemlerini bulup yerlerini ifade ediniz.
Çözüm
Verilen şartı sağlayan herhangi bir nokta P(x,y,z) olsun. Bu durumda
d(P,E)=|2x+y−z−4|√22+12+(−1)2=|2x+y−z−4|√6=√6
|2x+y−z−4|=6
2x+y−z−4=6⇒2x+y−z=10
Örnek 5
R3 te A(−2,1,3) ve B(0,−1,1) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemini bulup yerini ifade ediniz.
Çözüm
Verilen şartı sağlayan herhangi bir nokta P(x,y,z) olsun. Bu durumda |AP|=|BP| olacağından iki nokta arası uzaklık gereği
√(x+2)2+(y−1)2+(z−3)2=√x2+(y+1)2+(z−1)2
x−y−z=−3
O halde biz bu sorunun çözümü için 2. bir yol daha izleyebiliriz. [AB] nın orta noktası C olsun.
C=A+B2=(−1,0,2)
2(x+1)−2(y)−2(z−2)=0⇒x−y−z=−3