Düzlemde olduğu gibi uzayda da vektörlerle işlemlerin aynı olduğundan daha önceki derslerimizde bahsetmiştik. Şimdi XYZ dik koordinat sisteminde vektörlerle işlemlerden biraz detaylı bahsedelim.
Bir vektörün uzunluğu
Yukarıdaki şekilden de görüleceği üzere dik koordinat sisteminde verilen →a=(a1,a2,a3) nün uzunluğu ||→a||=√a21+a22+a23 olur.
Örnek 1
XYZ koordinat sisteminde →a=(2,−3,k) nün uzunluğu 7 birim olduğuna göre k gerçek sayısının değeri kaç olabilir?
Çözüm
||→a||2=22+(−3)2+k2⇒49=13+k2 olur. Böylece k2=36⇒k=6 veya k=−6 bulunur.
Temel Birim Vektörler
Örnek 2
R3 de
→v=2.→e1−3.→e2+4.→e3⇒→v=(2,−3,4)
→v=−→e1+→e2−5.→e3⇒→v=(−1,1,−5)
→v=−3→e1+→e3⇒→v=(−3,0,1)
→v=5→e2−2→e2⇒→v=(5,−2,0)
Verilen bir vektörle aynı doğrultulu birim vektörler
Örnek 3
R3 de →v=(1,−2,2) ile aynı yönlü birim vektörü bulalım:
Öncelikle vektörün uzunluğunu bulalım. ||→v||=√1+4+4=3 olur. Aynı yönlü birim vektörümüz →w olsun. Bu durumda →w=1||→v||→v=13(1,−2,2)=(13,−23,23) bulunur.
Konum Vektörü
R3 de verilen →AB nün başlangıç noktası orijin olacak biçimde XYZ dik koordinat sistemine taşınmış haline →AB nün konum vektörü denir.
Şekilde →AB nün konum vektörü →v dür. →AB nün konum vektörü bulmak için →v=→B−→A bulunur. Kısacası →AB=→B−→A yazılabilir.
Örnek 4
R3 de A(2,−5,3) noktası ve →AB=(−3,0,4) veriliyor. Buna göre ||→B|| kaçtır?
Çözüm 4
→AB=→B−→A olduğundan →B=→AB+→A olur. O halde →B=(−3,0,4)+(2,−5,3)=(−1,−5,7) olur. Böylece ||→B||=√1+25+49=5√3 bulunur.
İki vektörün paralellik koşulu
Örnek 5
R3 de A(x,y,5), B(1,−1,4) noktaları ve →v=(2,3,4) için →BA∥→v olduğuna göre ||→A|| kaçtır?
Çözüm 5
Öncelikle →BA nü bulalım:→BA=→A−→B=(x−1,y+1,1) olur.
O halde paralellik koşulu gereği x−12=y+13=14 olur.
Bu ifadeden x=32 ve y=−14 bulunur. O halde ||→A||=√94+116+25=√4374 bulunur.