Aykırı doğrular

Bulunduğunuz Sayfa :
Anasayfa
/
2.Ünite Uzayda Doğru ve Düzlem
/
Aykırı doğrular

2.1.12 Aykırı iki doğru (uzaklık)

Müfredat dahilinde olmasada bu konuya değinmek istedim. Uzayda verilen aykırı iki doğru arasındaki en kısa uzaklık nasıl bulunur? Denklemleri $$d_1:X=A+k_1.\overrightarrow{u_1}$$ ve $$d_2:X=B+k_2.\overrightarrow{u_2}$$ olan aykırı iki doğru verilsin. Aşağıdaki şekildeki gibi $d_1$ doğrusunu içine alan ve $d_2$ doğrusuna paralel olan $E$ düzlemini çizelim.

aykiri-dogrular

Şekilden de anlaşılacağı üzere doğrular arasındaki en kısa uzaklık $d_2$ doğrusu ile bu doğrunun $E$ düzlemindeki izdüşümü olan ${d_2}'$ doğrusu arasındaki uzaklık olacaktır. $d_1$ ve ${d_2}'$ doğrusunun kesişimine $C$ dersek, şekilde bu uzaklık $|CD|$ olarak görülmektedir. Tabii bu noktaları bulmak hiç kolay değildir. Bu nedenle aşağıdaki şekle bakalım.

aykiri-uzaklik 2

Şekilden görüleceği üzere aslında $C$ ve $D$ arasındaki uzaklık, $\overrightarrow{AB}$ nün düzlemin $\overrightarrow{N}$ normal vektörü üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğuna eşittir. Yani $|CD|=|AH|$ dır. $\overrightarrow{AB}$ nü rahatlıkla bulabiliriz, fakat $\overrightarrow{N}$ nasıl bulunabilir? Aşağıdaki şekil dikkatli incelenirse

aykiri uzaklik 3

düzlemin normal vektörünün $\overrightarrow{N}=\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}$ olduğu görülebilir.

O halde aykırı iki doğru arasındaki en kısa uzaklık $$|AH|=\dfrac{\left |<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}> \right |}{||\overrightarrow{N}||}=\dfrac{\left |<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}> \right |}{||\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}||}$$ olur.

Yukarıdaki durumları özetleyen videoyu ve hemen altında videoda geçen şeklin Cabri versiyonunu inceleyebilirsiniz!

Video burada görüntülenecektir.

Şeklin Cabri versiyonu için tıklayın!

Biraz daha ötesini düşünelim ve fazla detaya girmeden $C$ ve $D$ noktalarının nasıl bulunacağını yazalım.

aykiri uzaklik 4

Şekli incelerseniz $\overrightarrow{CB}$ ile $\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{u_2}$ dik olacağından ve $C=A+k_1\overrightarrow{u_1}$ olduğundan $$<B-A-k_1\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{u_2}>=0$$ \[ \Rightarrow < \overrightarrow {AB} - {k_1}\overrightarrow {{u_1}}\; ,\; \overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_2}} > = 0\] denklemiyle $k_1$ parametrisi bulunarak $C$ noktası elde edilebilir. Benzer biçimde $D$ noktası da $$<A-B-k_2\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{u_1}>=0$$ \[ \Rightarrow < \overrightarrow {BA} - {k_2}\overrightarrow {{u_2}}\; ,\; \overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_1}} > = 0\] denkleminden elde edilen $k_2$ parametresiyle elde edilebilir.

Örnek 1

${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2}=y + 1=- z$ ve ${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{3}=- y=\dfrac{{z - 1}}{2}$ doğruları arasındaki en kısa mesafe kaç birimdir?

Çözüm

$d_1$ doğrusunun geçtiği sabit nokta $A(1,-1,0)$ ve doğrultu vektörü $\overrightarrow {{u_1}} = (2,1, - 1)$; $d_2$ doğrusunun geçtiği sabit nokta $B(-1,0,1)$ ve doğrultu vektörü $\overrightarrow {{u_2}} = (3, - 1,2)$ dir. Bu durumda $\overrightarrow {AB} = ( - 2,1,1)$ olacaktır. Bu üç vektörün belirttiği determinantın değeri $0$ dan farklı olduğundan lineer bağımsızdırlar. Bu nedenle doğrular aykırı doğrulardır (Bir önceki derste bu konu işlendi). Öncelikle \[\overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{e_1}} }&{\overrightarrow {{e_2}} }&{\overrightarrow {{e_3}} }\\2&1&{ - 1}\\3&{ - 1}&2\end{array}} \right| = (1, - 7, - 5)\] dir. O halde iki doğru arasındaki en kısa uzaklık \[\begin{array}{l}d({d_1},{d_2}) = \dfrac{{| < \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} > |}}{{||\overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} ||}}\\\\ = \dfrac{{| - 2.1 + 1.( - 7) + 1.( - 5)|}}{{\sqrt {{1^2} + {7^2} + {5^2}} }}\\ = \dfrac{{14}}{{5\sqrt 3 }}\end{array}\] bulunur.

Örnek 2

${d_1}:x + 2y = 2;\;z = 0$ ve ${d_2}:x = 2z;\;y = 0$ doğrularının birbirine en yakın olan noktalarını bulunuz.

Çözüm

$d_1$ doğrusunun geçtiği sabit nokta $A(0,1,0)$ ve doğrultu vektörü $\overrightarrow {{u_1}} = (-2,1,0)$;

$d_2$ doğrusunun geçtiği sabit nokta $B(0,0,0)$ ve doğrultu vektörü $\overrightarrow {{u_2}} = (2,0,1)$ dir.

Ayrıca $\overrightarrow {AB} = (0, - 1,0)$ ve $\overrightarrow N = \overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} = (1,2, - 2)$ dir. Konu anlatımında olduğu gibi $d_1$ doğrusunun $d_2$ doğrusuna en yakın noktası $C$ ve $d_2$ doğrusunun $d_1$ doğrusuna en yakın noktası $D$ olsun. İki vektöre daha ihtiyacımız var: \[\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_1}} = (2,4,5)\] ve \[\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_2}} = (2, - 5, - 4)\] olur.

O halde bir $k\in R$ için \[\begin{array}{l} < \overrightarrow {AB} - k\overrightarrow {{u_1}}\; ,\;\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_2}} > = 0\\ \Rightarrow k = - \dfrac{5}{9}\end{array}\] bulunur. Böylece \[C = A + k\overrightarrow {{u_1}} = (0,1,0) - \dfrac{5}{9}( - 2,1,0) = \left( {\dfrac{{10}}{9},\dfrac{4}{9},0} \right)\] olur.

Benzer biçimde bir $m\in R$ için \[\begin{array}{l} < \overrightarrow {BA} - m\overrightarrow {{u_2}}\; ,\;\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_1}} > = 0\\ \Rightarrow m = \dfrac{4}{9}\end{array}\] bulunur. Böylece \[D = B + m\overrightarrow {{u_2}} = (0,0,0) + \dfrac{4}{9}( 2,0,1) = \left( {\dfrac{{8}}{9},0,\dfrac{4}{9},} \right)\] olur.

Video burada görüntülenecektir.