Düzlemde olduğu gibi uzayda da Öklid iç çarpımı aşağıdaki biçimde tanımlanır.
\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) verilsin.
Yani vektörlerin aynı tür koordinatları birbiriyle çarpılıp toplanır. Dikkat ederseniz vektörlerin iç çarpımının sonucu bir gerçel sayıdır.
Örnek 1
\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(2,-3,-1)\) ve \(\overrightarrow{b}=(9,0,-6)\) için \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) iç çarpımının değerini bulalım:
Çözüm
\(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=2.9+(-3).0+(-1).(-6)=24\) bulunur.
Öklid iç çarpımının özellikleri:
\(\forall \overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{c}\in R^3\) ve \(\forall \lambda \in R\) için
1. Değişme özelliği $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}>$$
2. Vektörün kendisiyle iç çarpımı, uzunluğunun karesine eşittir.$$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}>=||\overrightarrow{a}||^2$$
3. Dağılma özelliği $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$$
Benzer biçimde
$$<\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$$ dir.
4. Çarpılan vektörlerden herhangi birinin önündeki skaler iç çarpımın dışına alınabilir, dışındaki skaler çarpanda içeri alınabilir, fakat bu işlem yapılırken vektörlerden sadece biri skalerle çarpılır. $$<\lambda \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{a},\lambda\overrightarrow{b}>$$
5. Üçüncü ve dördüncü özellikleri birlikte düşünürsek $$<\lambda \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>=\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$$ ve $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\lambda \overrightarrow{c}>= <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$$
Verilen bu özelliklerden yola çıkarak iç çarpımın önemli sonuçlarından birini elde edelim: