Soru 1
\(R^3\) de köşeleri \(A(2,k,0)\), \(B(0,k,4)\), \(C(x,y-1,2)\) ve \(D(2x,5,0)\) noktaları olan \(ABCD\) yamuğunda \([AB]\parallel[CD]\) dir. Buna göre \(x.y\) çarpımı kaçtır?
Çözüm 1
Öncelikle \(\overrightarrow{AB}\) ve \(\overrightarrow{CD}\) nü bulalım:$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(-2,0,4)$$ ve $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C}=(x,6-y,-2)$$ olur.
O halde paralellik koşulu gereği $$\dfrac{x}{-2}=\dfrac{6-y}{0}=\dfrac{-2}{4}$$ olur.
Bu ifadeden \(x=1\) ve \(y=6\) bulunur. (Not: Paydası 0 olan bir oranda payın da 0 olması gerekir.) O halde $$x.y=6$$ bulunur.
Soru 2
 |
\(R^3\) de verilen şekildeki birim küpte \(\overrightarrow{AP}\) nü bulunuz. |
Çözüm 2
Soru 3
\(R^3\) de \(A(2,0,-1)\), \(B(5,-1,0)\), \(C(0,3,2)\) ve \(D(k,-k,-2)\) noktaları aynı düzlemde olduğuna göre \(k\) kaçtır?
Çözüm 3
Noktalar aynı düzlemde olduğuna göre belirtecekleri vektör üçlüleri lineer bağımlı olacaktır. Bu vektörleri \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) ve \(\overrightarrow{AD}\) olarak seçelim. (Farklı seçimler yapılabilir.) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(3,-1,1)$$ $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(-2,3,3)$$ $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=(k-2,-k,-1)$$ olur. Üç vektörün lineer bağımlılığı gereği $$\begin{vmatrix}3 &-1 &1 \\ -2 &3 &3 \\ k-2 &-k &-1 \end{vmatrix}=0$$ olmalıdır. Determinant hesaplanırsa \(k=-1\) bulunur.
Soru 4
\(R^3\) de \(\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}+2\overrightarrow{e_3}\) olduğuna göre \(\overrightarrow{v}\) ile zıt yönlü birim vektörü bulunuz.
Çözüm 4
İstenilen birim vektör \(\overrightarrow{w}\) olsun. Bu durumda \(\overrightarrow{w}=-\dfrac{1}{||\overrightarrow{v}||}\overrightarrow{v}\) olacağından $$\overrightarrow{w}=-\dfrac{1}{\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}}(4,-4,2)=-\dfrac{1}{6}(4,-4,2)=(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3})$$ bulunur.