Vektörel Çarpım 1

Bulunduğunuz Sayfa :
Anasayfa
/
1.Ünite Uzayda Vektörler
/
Ders 4
/
Vektörel Çarpım 1

1.4.12 Dış (Vektörel) Çarpım

$XYZ$ koordinat sisteminde $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ve $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ verilsin.

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$

biçiminde tanımlanan $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ vektörüne $\overrightarrow{a}$ ile $\overrightarrow{b}$ nün dış çarpım vektörü denir. Dikkat ederseniz iki vektörün iç çarpımı bir gerçek sayı iken dış çarpımı bir vektördür. Biraz karışık gibi duran bu tanımı aşağıdaki gibi düzenleyebiliriz:

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_1}\begin{vmatrix}a_2 &a_3 \\ b_2 &b_3 \end{vmatrix}-\overrightarrow{e_2}\begin{vmatrix}a_1 &a_3 \\ b_1 &b_3 \end{vmatrix}+\overrightarrow{e_3}\begin{vmatrix}a_1 &a_2 \\ b_1 &b_2 \end{vmatrix}$$ daha karışık gözükmüş olabilir ama determinant konusu iyi hatırlanırsa aslında bu yazılan ifadenin $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\ a_1 &a_2 &a_3 \\ b_1 &b_2 &b_3 \end{vmatrix}$$ olduğu görülür.

Örnek 1

$XYZ$ koordinat sisteminde $\overrightarrow{a}=(2,1,0)$ ve $\overrightarrow{b}=(-1,3,0)$ için $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ dış çarpım vektörünü bulalım:

Çözüm

Verilen vektörleri 3 lü determinantta yerine yazalım: $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\ 2 &1 &0 \\ -1 &3 &0 \end{vmatrix}$$ yani $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_1}\begin{vmatrix}1 &0 \\ 3 &0 \end{vmatrix}-\overrightarrow{e_2}\begin{vmatrix}2 &0 \\ -1 &0 \end{vmatrix}+\overrightarrow{e_3}\begin{vmatrix}2 &1 \\ -1 &3 \end{vmatrix}$$ $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=7\overrightarrow{e_3}=(0,0,7)$$ bulunur.

Bu dış çarpımı aşağıdaki $XYZ$ sisteminde incelersek; $xy$ düzleminde bulunan $\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{b}$ nün dış çarpımı bu iki vektöre de dik olan $(0,0,7)$ koordinatlı vektördür.

Yukarıdaki örnekte vurguladığımız dış çarpım vektörünün çarpılan vektörlere dik oluşu aslında çarpılan lineer bağımsız her iki vektör için geçerlidir. $\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{b}$ vektörel çarpılırken çarpım sırasına göre ilk vektörden ikinci vektöre doğru saatin tersi (pozitif) yönde bir açı yapılıyorsa (soldaki şekil gibi) $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ bu vektörlerin üstünde kalırken; saat yönünde (negatif) bir açı yapılıyorsa (sağdaki şekil gibi) $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$ bu vektörlerin altında kalır. Bu durum Fizik dersinde sağ el kuralı olarak isimlendirilir. Sağ elimizi, baş parmağımız diğerlerine dik olacak biçimde, açarız. Baş parmak dışında kalan parmaklarımızı dönme yönünü gösterecek biçimde avuç içimize doğru büktüğümüz zaman baş parmağımız dış çarpım vektörünün yönünü gösterir.

Aşağıdaki şekildeki vektörlerin uç noktlarını hareket ettirerek dış çarpım vektörünün nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Özellikleri

$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ve $\overrightarrow{c}$ ile $k\in R$ verilsin. Bu durumda

1. $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$

2. $(k.\overrightarrow{a})\times\overrightarrow{b}=k.(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\times (k.\overrightarrow{b})$

3. $\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}$

4. $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$

5. $<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$

$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$, $\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)$ ve $\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$ temel birim vektörleri için

6. $\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}$

7. $\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_2}$

8. $\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}$

Örnek 1

$\overrightarrow{a}=(-1,2,4)$, $\overrightarrow{b}=(3,0,2)$ ve $\overrightarrow{c}=(k,1,-1)$ için $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}=(-2,17,b)$ olduğuna göre $b$ kaçtır?

Çözüm 1

3. özellik gereği $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ olacağından öncelikle $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ nü bulalım: $$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(3+k,1,1)$$ olur. O halde $$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\-1 &2 &4 \\3+k &1 &1\end{vmatrix}=(-2,13+4k,-7-2k)$$ bulunur. Demek ki $(-2,17,b)=(-2,13+4k,-7-2k)$ olacaktır. Bu eşitlikten $k=1$ çıkar. Yerine yazılırsa $b=-9$ bulunur.

Örnek 2

$\overrightarrow{a}=(-5,2,-3)$ ve $\overrightarrow{e_1}$ ile $\overrightarrow{e_2}$ temel birim vektörler olmak üzere $<\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{a}>$ iç çarpımının sonucu kaçtır?

Çözüm 2

5. özellik gereği $<\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{a}>=<\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{a}>$ olacaktır. Fakat 6. özellik gereği de $\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}$ olacağından $$<\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{a}>=<\overrightarrow{e_3},\overrightarrow{a}>=0.(-5)+0.2+1.(-3)=-3$$ bulunur.