Vektörel Çarpım 2

Bulunduğunuz Sayfa :
Anasayfa
/
1.Ünite Uzayda Vektörler
/
Ders 4
/
Vektörel Çarpım 2

1.4.13 Dış Çarpım Üzerine

Dış Çarpım Vektörünün Uzunluğu

$XYZ$ koordinat sisteminde $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ve $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ için dış çarpım vektörünü

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$

biçiminde tanımlamıştık. O halde $\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{b}$ nün belirttiği açının ölçüsü $\theta$ olmak üzere

$$||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||^2=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2$$

$=(a_1b_2)^2+(a_1b_3)^2+(a_2b_1)^2+(a_2b_3)^2+(a_3b_1)^2+(a_3b_2)^2$

$-2(a_1b_1a_2b_2+a_1b_1a_3b_3+a_2b_2a_3b_3)$

$={\color{red}(a_1b_1)^2}+(a_1b_2)^2+(a_1b_3)^2+(a_2b_1)^2+{\color{red}(a_2b_2)^2}+(a_2b_3)^2$

$+(a_3b_1)^2+(a_3b_2)^2+{\color{red}(a_3b_3)^2}$

$-[{\color{red}(a_1b_1)^2}+{\color{red}(a_2b_2)^2}+{\color{red}(a_3b_3)^2}+2(a_1b_1a_2b_2+a_1b_1a_3b_3+a_2b_2a_3b_3)]$

$=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$

$=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2-<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>^2$

$=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2-||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2cos^2\theta$

$=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2(1-cos^2\theta)$

$=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2sin^2\theta$ bulunur.

Demek ki

$$||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||=||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||sin\theta$$

olur. (Dikkat ederseniz $0\leqslant \theta\leqslant \pi$ için $sin\theta\geqslant 0$ olduğundan $|sin\theta|=sin\theta$ dır.)

Sonuçları

1. Sıfır vektöründen farklı $\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{b}$ nün dış çarpımı $\overrightarrow{0}$ ise bu vektörler paraleldir. Çünkü bu durumda $||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||=0$ olacağından $sin\theta=0$ olmalıdır. O halde $\theta=0$ veya $\theta=\pi$ dir ki bu durumda vektörler paraleldir. Özetle

$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$$

Şekildeki gibi $\overrightarrow{a}$ ve $\overrightarrow{b}$ üzerine kurulan paralelkenarın alanı $||\overrightarrow{a}||.(||\overrightarrow{b}||.sin\theta)$ olacağından

$$Alan=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||$$

olur.

Şekildeki gibi $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ve $\overrightarrow{c}$ üzerine kurulan paralelyüzlünün hacmi $V=A.h$ dır. Fakat biliyoruz ki

$$A=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||$$

$$h=||\overrightarrow{c}||.|cos\theta|$$ olacağından

$$V=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||.||\overrightarrow{c}||.|cos\theta|$$

bulunur. Dikkat ederseniz $\theta$, $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ ile $\overrightarrow{c}$ nün belirttiği açının ölçüsü ve eşitliğin sağ tarafı $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ ile $\overrightarrow{c}$ nün iç çarpımının mutlak değerine eşittir. O halde

$$V=|<\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>|$$ olur.

Eğer iç çarpımda $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ ve $\overrightarrow{c}=(c_1,c_2,c_3)$ vektörleri yerine yazılırsa

$$V=\left | \begin{vmatrix}a_2 &a_3 \\b_2 &b_3 \end{vmatrix}.c_1-\begin{vmatrix}a_1 &a_3 \\b_1 &b_3 \end{vmatrix}.c_2+\begin{vmatrix}a_1 &a_2 \\b_1 &b_2 \end{vmatrix}.c_3 \right |$$

yani

$$V=\left | \begin{vmatrix}a_1 &a_2 &a_3 \\ b_1 &b_2 &b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \end{vmatrix} \right |$$

olur.

Aşağıdaki şekilde çizili $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ve $\overrightarrow{c}$ vektörlerinin uç noktalarını hareket ettirerek hacim ve iç çarpımın değişimini inceleyebilir, şekli istediğiniz gibi döndürebilirsiniz. $\overrightarrow{c}$ nün uç noktasını "Shift" e basılı tutarak hareket ettirmezseniz, değerlerde bir değişim görmezsiniz. Cabri 3D de noktanın uzayda hareketi "Shift" e basılı tutarak elde edilir. Aksi halde nokta sabit bir düzlemde hareket edecektir.

Örnek 1

$R^3$ de $\overrightarrow{a}=(-1,2,1)$ ve $\overrightarrow{b}=(1,0,1)$ üzerine kurulu paralelkenarın alanı kaç birim karedir?

Çözüm 1

$$Alan=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||$$ olduğundan öncelikle dış çarpım vektörünü bulalım: $$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\ -1 &2 &1 \\ 1&0 &1 \end{vmatrix}=2\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}-2\overrightarrow{e_3}$$ o halde $$Alan=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{3}$$ bulunur.

Örnek 2

$R^3$ de $\overrightarrow{a}=(4,-1,0)$, $\overrightarrow{b}=(2,0,3)$ ve $\overrightarrow{c}=(1,1,-1)$ üzerine kurulu paralelyüzlünün hacmi kaç birim küptür?

Çözüm 2

$$Hacim=\left | \begin{vmatrix}4 &-1 &0 \\ 2 &0 &3 \\ 1 &1 &-1 \end{vmatrix} \right |$$ olacağından tek yapmamız gereken bu determinantı hesaplamaktır.

3.satırı 1.satıra eklersek ve 3.satırın 2.elemanına göre determinant hesaplarsak (Sarrus tabii ki kullanılabilir) $$Hacim=\left | \begin{vmatrix}5 &0 &-1 \\ 2 &0 &3 \\ 1 &1 &-1 \end{vmatrix} \right |=\left | (-1).\begin{vmatrix}5 &-1 \\ 2&3 \end{vmatrix} \right |=\left | -17 \right |=17$$ bulunur.