Uzayda bütün vektörlerin kümesi \(V\) ile gösterilir. Bu küme üzerinde vektörlerle yapılan toplama, skalerle çarpma işlemleri ve bu işlemlerin özellikleri düzlemdekilerle aynıdır.
Soru 1
Şekildeki küpte C noktası \([AB]\) nın orta noktası olduğuna göre \(\overrightarrow{u}\) nü \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\) ve \(\overrightarrow{v_3}\) türünden yazınız.
Çözüm 1
\(\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v_1}\) olacağından şekildeki gibi uç uca ekleme yöntemiyle $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v_1}$$ olur.
Soru 2
Şekildeki birim küpte \(||\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{FE}||\) değeri kaçtır?
Çözüm 2
\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DA},\) ve \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{GE}\) olacağından şekildeki gibi uç uca ekleme yöntemiyle $$\left \| \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{FE}\right \|=\left \| \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GE}\right \|=\left \| \overrightarrow{DE} \right \|$$ olduğu görülür. Bu değer, birim küpün, cisim köşegeninin uzunluğu olacağından cevap \(\sqrt{3}\) olur.
Soru 3
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında \(P\) noktası \((GFEH)\) düzlemindedir. \(R\) noktasıda \(ABCD\) dikdörtgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=k.\overrightarrow{PR}$$ eşitliğini sağlayan \(k\) değeri kaçtır?
Çözüm 3
\([DB]\) ve \([CA]\) çizilsin. 10. sınıf geometri dersinden hatırlarsak \(PDB\) üçgeninde \([PR]\) kenarortayı için $$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PR}$$ dir. Benzer biçimde \(PAC\) üçgeninde \([PR]\) kenarortayı için $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PR}$$ dir. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak
$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=4\overrightarrow{PR}$$ elde edilir.
Soru 4
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında \(P\) noktası prizmanın dışındadır. \([AF]\cap [GB]={R}\) olduğuna göre $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PH}$$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \(2\overrightarrow{PR}\) B) \(4\overrightarrow{PR}\) C) \(8\overrightarrow{PR}\) D) \(\overrightarrow{RP}\) E) \(\overrightarrow{0}\)
Çözüm 4
Diğer cisim köşegenleri de çizilsin.$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HR}=\overrightarrow{PR}$$ olur. Bu eşitlikler alt alta toplanır ve $$\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{BR}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{CR}+\overrightarrow{HR}=\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{DR}+\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{0}$$ olduğu görülürse $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PH}=8\overrightarrow{PR}$$ elde edilir.