Düzlemler arasındaki açının ölçüsüne \(\theta\) diyelim. \(\overrightarrow{N_1}=(2,-1,2)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(4,3,5)\) olduğundan $$cos\theta=\dfrac{|<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>|}{||\overrightarrow{N_1}||||\overrightarrow{N_2}||}=\dfrac{|2.4-1.3+2.5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\sqrt{4^2+3^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ olur.

O halde \(\theta=45^{\circ}\) bulunur.

Düzlemler birbirine dik olduğuna göre aralarındaki açının ölçüsü \(90^{\circ}\) dir. Yani normal vektörleri de birbirine diktir. Vektörlerde diklik koşulu gereği iç çarpımları \(0\) olmalıdır. İlk düzlem için \(\overrightarrow{N_1}=(1,-4,1)\), ikinci düzlem için \(\overrightarrow{N_2}=(k,1,-5)\) dir. O halde $$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0 \Rightarrow 1.k-4.1+1.(-5)=0 \Rightarrow k=9$$ bulunur.

İlk düzlem için \(\overrightarrow{N_1}=(3,4,-5)\), ikinci düzlem için \(\overrightarrow{N_2}=(-1,k,0)\) dır. O halde $$cos60^{\circ}=\dfrac{|4k-3|}{5\sqrt{2(k^2+1)}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{|4k-3|}{5\sqrt{2(k^2+1)}}$$ olur. Her iki tarafında karesini alıp gerekli düzenlemeyi yaparsak $$7k^2-48k-7=0$$ denklemi elde edilir. Bu denklemden \(k=7\) veya \(k=-\dfrac{1}{7}\) bulunur. Çarpımları da \(-1\) yapar. Elde ettiğimiz denklemin köklerinin gerçek olduğunu tespit ettikten sonra(?)Δ>0 olmalı kökler çarpımı formülünden de bu cevabı bulabilirdik.