Öncelikle \({d_1}\) doğrusunun doğrultu vektörünün \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1,2,2)\) ve \({d_2}\) doğrusunun doğrultu vektörünün \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2,1,2)\) olduğunu görelim. Ayrıca doğruların \(O(0,0,0)\) noktasında kesiştiğini görelim. İstenilen kürelerin merkezi \(x = 2y\) düzleminde olduğundan bu noktaları \(P(2y,y,z)\) biçiminde gösterebiliriz. Küreler doğrulara teğet olduğundan, merkezin doğrulara olan uzaklıkları eşit ve yarıçap kadar olmalıdır. (Noktanın doğruya uzaklığı için tıklayınız!) Yani \[\frac{{||\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}} |{\kern 1pt} |}}{{||\overrightarrow {{u_1}} ||}} = \frac{{||\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_2}} |{\kern 1pt} |}}{{||\overrightarrow {{u_2}} ||}} = \frac{3\sqrt 5}{2} \] olmalıdır. Bu eşitlikte \(||\overrightarrow {{u_1}} || = ||\overrightarrow {{u_2}} || = 3\) olduğuna dikkat edersek \[||\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}} |{\kern 1pt} | = ||\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_2}} |{\kern 1pt} |\] eşitliğini çözmeye çalışalım. \[\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow {{e_1}} }&{\overrightarrow {{e_2}} }&{\overrightarrow {{e_3}} }\\
{2y}&y&z\\
1&2&2
\end{array}} \right| = (2y - 2z\,,\,z - 4y\,,\,3y)\] ve \[\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_2}}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow {{e_1}} }&{\overrightarrow {{e_2}} }&{\overrightarrow {{e_3}} }\\
{2y}&y&z\\
2&1&2
\end{array}} \right| = (2y - z\,,\,2z - 4y\,,\,0)\] olur. Uzunluklarını eşitlersek \[y \cdot (9y + 4z) = 0\] denklemi elde edilir. Böylece \(y = 0\) için kürelerden birinin merkezi \[P(0,0,z)\] \(9y = -4z\) için ise bir \(k\) parametresine bağlı olarak diğer kürenin merkezi \[P(8k,4k,-9k)\] olacaktır. \(P(0,0,z)\) için \[\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}}  = ( - 2z,z,0)\] olacağından \[\frac{{||\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}} ||}}{{||\overrightarrow {{u_1}} ||}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\] eşitliğinde yerine yazarsak \(|z|=\dfrac{9}{2}\) olur. Böylece bu şartlarda merkezleri sırasıyla \[P\left( {0\,,0\,,\,\frac{9}{2}} \right)\] ve \[P\left( {0\,,0\,,\,-\frac{9}{2}} \right)\] olan iki küre elde edilir. Bu kürelerin denklemleri \[{x^2} + {y^2} + {\left( {z - \frac{9}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{4}\] ve \[{x^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{9}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{4}\] olacaktır. Öte yandan \(P(8k,4k,-9k)\) için \[\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}}  = (26k\,, - 25k\,,\,12k)\] olacağından \[\frac{{||\overrightarrow {OP}  \times \overrightarrow {{u_1}} ||}}{{||\overrightarrow {{u_1}} ||}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\] eşitliğinde yerine yazılırsa \[|k| = \frac{9}{{34}}\] bulunur. Böylece tekrar iki farklı merkez elde ederiz: \[P\left( {\frac{{36}}{{17}}\,,\,\frac{{18}}{{17}}\,,\,\frac{{-81}}{{34}}} \right)\] ve \[P\left( {-\frac{{36}}{{17}}\,,\,-\frac{{18}}{{17}}\,,\,\frac{{81}}{{34}}} \right)\] bulunur. Kürelerin denklemleri de \[{\left( {x - \frac{{36}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{18}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{81}}{{34}}} \right)^2} = \frac{{45}}{4}\] ve \[{\left( {x + \frac{{36}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{18}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{81}}{{34}}} \right)^2} = \frac{{45}}{4}\] olur. Özetle verilen şartlara uygun 4 farklı küre vardır.

Şekildeki gibi \(BF \cap CD = \{ G\} \) olacak biçimde \([BG]\) ve \([CG]\) çizilsin. \(O\) merkezli yarım çember için \([OF]\) çizilsin. \(|OF|=|OC|=|OD|=3k\) olsun. \(B\) merkezli çeyrek çember için \(|BC|=|BF|=6k\) olur. \([BC]\), \(B\) noktasından \(O\) merkezli yarım çembere çizilen teğet ve \(|BF|=|BC|\) olduğundan \([BF]\) de \(O\) merkezli yarım çembere \(E\) de teğettir. Ek olarak \(OCBF\) dörtgeninin bir deltoid olduğu da görülebilirdi. \([OF]\perp[BG]\) gereği \(BGC \sim OGF\) olur. \(|GD|=x\) ve \(|GF|=y\) dersek benzerlik gereği \[\frac{3k}{{6k}} = \frac{y}{{x + 6k}} = \frac{{x + 3k}}{{y + 6k}}\] olur. Bu eşitlikten \(x = 2k\) ve \(y=4k\) bulunur. Demek ki \(FGO\) ve \(BCG\) üçgenleri birer 3-4-5 üçgenleriymiş.

Şekildeki gibi \([FH]\perp[AB]\) çizilirse \(OFG\sim FHB\) olacağından \(FHB\) üçgeni de bir 3-4-5 üçgenidir. \(|HF|=3n\), \(|HB|=4n\) ve \(|BF|=5n\) dersek ve \(|BF|=|BA|\) eşitliği görülürse \[4n+2=5n\] olacağından \(n=2\) ve karenin bir kenar uzunluğu \(10\) birim bulunur. Böylece \[Alan(ABCD)=100\,br^2\] olur.

Çözümde geçen detayları anlamak için "Aykırı Doğrular" içeriğini inceleyiniz.

Öncelikle \(d_1\) doğrusunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_1}}  = ( - 1,0,2)\) ve sabit noktası \(A(0,0,4)\); \(d_2\) doğrusunun ise doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( 0,-2,1)\) ve sabit noktası \(A(0,0,2)\) alınabilir. Böylece \(\overrightarrow {AB}  = (0,0, - 2)\) olur. Bu üç vektörün belirteceği determinant hesaplanırsa \(0\) dan farklı olduğu görülecektir. Yani bu doğrular aykırı doğrulardır. Bu durumda her ikisiyle kesişen ve her ikisine de dik olan doğru, bu doğruların birbirine en yakın noktalarından geçen doğrudur. \(\overrightarrow N  = \overrightarrow {{u_1}}  \times \overrightarrow {{u_2}}  = (4,1,2)\) vektörünü ve \(\overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  = (5, - 4, - 8)\) vektörünü kullanarak \(d_1\) doğrusunun \(d_2\) doğrusuna en yakın noktası \(C = A + k\overrightarrow {{u_1}} \) bulalım. \[ < \overrightarrow {AB}  - k\overrightarrow {{u_1}}\quad ,\quad \overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  >  = 0\] olacağından ifadeler yerine yazılırsa \[k =  - \dfrac{{16}}{{21}}\] bulunur. Böylece \[C\left( {\dfrac{{16}}{{21}},0,\dfrac{{52}}{{21}}} \right)\] olur. Ayrıca dikkat edilirse \(\overrightarrow N \) aradığımız doğrunun doğrultu vektörü olacaktır. O halde istenilen doğrunun denklemi gerekli düzenlemelerle : \[\dfrac{{x - 16/21}}{4} = y = \dfrac{{z - 52/21}}{2}\] olarak ifade edilebilir.

Öncelikle şu soruya cevap arayalım: \(A\) kümesinin herhangi bir elemanı kaç alt kümede bulunur? Örneğin \(A\) kümesinin kaç alt kümesinde "\(1\)" eleman olarak bulunur? Bunun cevabı basit, tabii ki \(2^8\) farklı alt kümede "\(1\)" eleman olarak bulunur. Yani "\(1\)" elemanı, alt kümelerin eleman sayılarının toplamı hesaplanırken, \(2^8\) defa sayılacaktır. Aynı durum diğer elemanlar için de geçerlidir. Her bir eleman \(2^8\) farklı alt kümenin bir elemanı olacak ve alt kümelerin eleman sayılarının toplamı hesaplanırken her biri \(2^8\) defa sayılacaktır. O halde cevabımız \(9.2^8\) dir. 

Demek ki \(n\) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin eleman sayılarının toplamı \(n.2^{n-1}\) dir.

Aslında bu cevabımızla bir özdeşlik elde etmiş oluyoruz:$$1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+...+n\binom{n}{n}=n.2^{n-1}$$ dir.

İlk sorudaki çözüm mantığımızla bu sorumuzun cevabı da \((1+2+3+...+9)2^{8}=45.2^8\) olur. Genel olarak \(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamı $$(1+2+3+...+n)2^{n-1}=n(n+1).2^{n-2}$$ olacaktır.