Soru
\(20!\) sayısı kaç farklı biçimde iki veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı biçiminde yazılabilir?Çözüm
\(n\) bir pozitif tam sayı olsun. Öncelikle \(n\) sayısının kendisi dahil ister pozitif, ister negatif veya \(0\) olsun kaç farklı biçimde iki veya daha fazla ardışık tam sayının toplamı biçiminde yazılabileceğini hesaplayalım.
- \(n\) sayısının tek adette terim içeren ardışık tüm yazılımlarını, tamamı bir \(a\) tam sayısı ve negatif olmayan bir \(b\) tam sayısı ile \(n = \left( {a - b} \right) + ... + a + ... + \left( {a + b} \right)\) yani \(n = a\left( {2b + 1} \right)\) biçiminde gösterebiliriz. \(b\) negatif olmadığından \(2b+1>0\) tek çarpanı, bu eşitliğin \(n\) nin pozitif tek bölenleri kadar çözümü olacağını göstermektedir.
- \(n\) sayının çift adette terim içeren ardışık tüm yazılımlarını da bir \(a\) tam sayısı ve bir \(b\) pozitif tam sayısı ile \(n = \left( {a - b + 1} \right) + ... + a + \left( {a + 1} \right) + ... + (a + b)\) yani \(n = \left( {a + 1/2} \right).2b = \left( {2a + 1} \right)b\) biçiminde gösterebiliriz. \(b\) ve \(n\) pozitif olduğundan \(2a+1>0\) olmalıdır. Bu nedenle bu eşitliğin de \(n\) nin pozitif tek bölenleri kadar çözümü olacağı görülmektedir.
Şimdi en büyük terimi \(d\) olan \(n = c+...+d\) gösterimini düşünelim. Eğer \(c>0\) ise, bu gösterimin önüne \((1-c)+...+(c-1) = 0\) ekleyerek ilk terimi pozitif olmayan \(n = (1-c)+...+d\) gösterimini elde ederiz. Eklenen \((1-c)+...+(c-1)\) terimlerin gösterim biçiminin tek olduğu açık olduğundan, elde edilen bu yeni gösterimin de tek olduğu açıktır. Benzer biçimde eğer \(1-c<=0\) ise, \(n = (1-c)+...+d\) gösteriminde başta yer alan \((1-c)+...+(c-1)\) terimleri silinerek \(n = c+...+d\) gösterimi tek bir biçimde elde edilecektir. Demek ki terimleri pozitif olan her gösterim için, her terimi pozitif olmayan bir başka gösterim daha vardır.
O halde tüm gösterimlerin yarısı pozitif terimlilerden, diğer yarısı da her terimi pozitif olmayan terimlilerden oluşmaktadır. Yani \(n\) pozitif tam sayısının kendisi dahil iki veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı biçiminde gösterim sayısı, \(n\) nin pozitif tek bolen sayısı kadardır.
Dikkat edilirse \(2\) sayısının tek gösterimi kendisidir. Benzer biçimde \(2^k\) (\(k\) pozitif bir tamsayı) formatındaki tam sayıların iki veya daha fazla ardışık gösterimleri yoktur.
Sorumuzun cevabına gelirsek, \[20! = {2^{18}} \cdot {3^8} \cdot {5^4} \cdot {7^2} \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19\] olduğundan pozitif tek bölen sayısı \[(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2160\] olduğundan kendisi hariç \(2159\) farklı biçimde iki veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı biçiminde yazılabilir.
Kaynak: http://www.qbyte.org/puzzles/puzzle10.html (soru 92)
Yorumlar
RSS beslemesi, bu iletideki yorumlar için