Soru
Bir doğru parçası eş zamanlı olarak 4 parçaya ayrılıyor. Bu parçaların bir dışbükey dörtgen belirtme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Sorunun çözümüne geçmeden önce "aynı anda 3 parçaya bölünen doğru parçasının bu parçalarının üçgen belirtme, dar açılı üçgen belirtme ve geniş açılı üçgen belirtme olasığı" üzerine eski çalışmamı izlemenizi tavsiye ederim.
Öncelikle şunu kanıtlayalım:
Kanıt:
Şekildeki gibi \((T,ABC)\) düzgün dörtyüzlüsü içinde bir P noktası alınsın ve sırasıyla yüzeylerine çizilen dikmeleri \([PD]\), \([PE]\), \([PF]\) ve \([PG]\) olsun. Dörtyüzlünün yüksekliği \([TH]\) ve \([PA]\), \([PB]\), \([PC]\), \([PT]\) çizilsin. Bu durumda düzgün dörtyüzlüyü oluşturan \((P,ATB)\), \((P,ATC)\), \((P,BTC)\) ve \((P,ABC)\) piramitleri elde edilmiş olur. Bu piramitlerin taban alanları, dörtyüzlünün yüzeyleri olduğundan, eşittirler. Dörtyüzlünün bir yüzeyinin alanına \(S\) dersek, piramitlerin hacimleri sırasıyla \(\dfrac{1}{3} \cdot S \cdot |PF|\), \(\dfrac{1}{3} \cdot S \cdot |PD|\), \(\dfrac{1}{3} \cdot S \cdot |PE|\) ve \(\dfrac{1}{3} \cdot S \cdot |PG|\) dir. O halde bunların toplamı dörtyüzlünün hacmine eşit olmalıdır: \[\begin{array}{l}
\frac{1}{3} \cdot S \cdot |TH| = \frac{1}{3} \cdot S \cdot \left[ {|PF| + |PD| + |PE| + |PG|} \right]\\
\\
\Rightarrow |TH| = |PF| + |PD| + |PE| + |PG|
\end{array}\] olur.
Videoyu izleyerek görsel destek alabilirsiniz.
Bu kanıttan sonra belki tahmin etmişsinizdir; soruda verilen doğru parçası dörtyüzlünün yüksekliği \([TH]\) ve ayrılan dört parça \([PD]\), \([PE]\), \([PF]\) ve \([PG]\) olacak biçimde soruyu çözeceğiz. Parçaların dörtgen oluşturabilmesi için her birinin uzunluğu \([TH]\) ın yarısından küçük olmalıdır. Aksi halde dörtgen oluşmayacağı aşikardır. Bu şartın sağlanması için \(P\) noktasının
şekildeki gibi, taban köşeleri \((T,ABC)\) nin yan ayrıtlarının orta noktaları olan, \((T,KLM)\) düzgün dörtyüzlüsü içinde yer almaması gerekir. Çünkü bu durumda \[|PG| > \dfrac{{|TH|}}{2}\] olacaktır. Benzer biçimde \(P\) nin bulunmaması gereken bölgeler aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Benzerlik gereği düzgün dörtyüzlünün hacminin bunlardan birinin hacmine oranı \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\] dir. O halde \[{V_{(T,ABC)}} = 8V\] dersek; istenmeyen bölgenin hacmi \[{V_{istenmeyen}} = 4V\] olacaktır. Böylece istenilen olasılık \[P = 1 - \frac{{4V}}{{8V}} = \frac{1}{2}\] bulunur.
Videoda \(P\) noktasının bulunması gereken bölgenin asında düzgün dörtyüzlünün orta sekizyüzlüsü olduğunu görebilirsiniz.
Esasında bu soruyu 5 parça için sorsaydık, her ne kadar 4.boyuta geçiyor olsak ve bunu çizemesekte, istenmeyen (hiper)bölge sayısının 5 ve benzerlik oranının \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4} = \dfrac{1}{{16}}\) olacağını sezebiliriz. Yani 5 gen oluşturma olasılığı \[P = 1 - \frac{{5V}}{{16V}} = \frac{{11}}{{16}}\] olurdu.
Genel olarak eş zamanlı olarak n parçaya bölünen bir doğru parçasının, bu parçalarının bir n-gen belirtme olasılığı \[1 - \frac{n}{{{2^{n - 1}}}}\] dir.
Bu konuyla ilgili değerli meslektaşım Lokman GÖKÇE'nin hazırladığı "Geometrik Olasılık" başlığı Geomania sitesinde ziyaret edilebilir.