Üçgenin köşelerine \(A({x_1},{y_1})\), \(B({x_2},{y_2})\) ve \(C({x_3},{y_3})\) diyelim. Elipsin parametrik denkleminden faydalanırsak, \(0 \le \alpha ,\theta ,\beta  < 2\pi \) için \[\begin{array}{l} {x_1} = a\cos \alpha \\ {y_1} = b\sin \alpha \end{array} \quad \begin{array}{l} {x_2} = a\cos \theta \\ {y_2} = b\sin \theta \end{array} \quad \begin{array}{l} {x_3} = a\cos \beta \\ {y_3} = b\sin \beta \end{array} \] olur. \(ABC\) üçgeninin alanı için \[\overrightarrow {AB}  = (a(\cos \theta  - \cos \alpha ),b(\sin \theta  - \sin \alpha ))\] ve \[\overrightarrow {AC}  = (a(\cos \beta  - \cos \alpha ),b(sin\beta  - sin\alpha ))\] vektörlerini kullanabiliriz. 

 O halde, 

\[|ABC| = \frac{1}{2} \cdot \left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a(\cos \theta - \cos \alpha )}&{b(\sin \theta - sin\alpha )}\\
{a(\cos \beta - \cos \alpha )}&{b(\sin \beta - \sin \alpha )}
\end{array}} \right|} \right|\] olur. Bu denklem düzenlenirse, \[|ABC| = \frac{{ab \cdot \left| {\sin (\beta  - \theta ) + \sin (\theta  - \alpha ) + \sin (\alpha  - \beta )} \right|}}{2}\] elde edilir. \(\beta  - \theta  = u\), \(\theta  - \alpha  = v\) ve \(\alpha  - \beta  = w\) değişikliği yaparsak ve \(u + v + w = 0\) olduğunu görürsek, \[|ABC| = \frac{{ab \cdot \left| {\sin u + \sin v - \sin (u + v)} \right|}}{2}\] olur. (Bu değişiklikte \( - 2\pi  < u,v,w < 2\pi \) olacağına dikkat ediniz). Bu durumda üçgenin alanı \[F(u,v) = \sin u + \sin v - \sin (u + v)\] fonksiyonuna bağlı olur. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için \[{F_u}(u,v) = \cos u - \cos (u + v) = 0 \quad {F_v}(u,v) = \cos v - \cos (u + v) = 0\] denklemleri ortak çözülürse, \(\cos u = \cos v\) yani \(u=v\) veya \(u=-v\) olmalıdır. Eğer \(u=-v\) olursa, \({F_u}(u,v) = \cos u - \cos (u - u) = 0\) olacağından \(u=0=v\) olur. Eğer \(u=v\) olursa, \({F_u}(u,v) = \cos u - \cos (2u) = 0\) olacağından \(u = v = \dfrac{{2\pi }}{3}\), \(u = v = \dfrac{{4\pi }}{3}\) ve \(u=v=0\) elde edilir. \(F(0,0) = 0\) olduğundan üçgenin alanı 0 olmak zorunda kalır. Diğer noktalar için çift değişkenli fonksiyonlarda ekstremum değerler için varolan teoremi* kullanmamız gerekiyor. Ekstremum testi için, \({F_{uu}}(u,v) =  - \sin u + \sin (u + v)\), \({F_{vv}}(u,v) =  - \sin v + \sin (u + v)\) ve \({F_{uv}}(u,v) =  \sin (u + v)\) değerlerinde \(\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) ve \(\left( {\dfrac{{4\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\) noktalarını araştırmamız gerekiyor. \[{F_{uu}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \sqrt 3 \] \[{F_{vv}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \sqrt 3 \] \[{F_{uv}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] olur. Burada \({F_{uu}} < 0\) ve \({F_{uu}} \cdot {F_{vv}} - {F_{uv}}^2 = 3 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4} > 0\) olduğundan teorem* gereği bu nokta bir maksimum noktadır. Benzer biçimde \(\left( {\dfrac{{4\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\) noktası da minimum nokta olacaktır. O halde fonksiyon maksimum değerini \(u = v = \dfrac{{2\pi }}{3}\) için alır. \[F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\] olur. Böylece üçgenin alanının maksimum değeri, \(|ABC| = \dfrac{{3\sqrt 3 ab}}{4}\) bulunur. ( Dikkat edilirse, alandaki mutlak değerden dolayı \(\left( {\dfrac{{4\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\) değerleri içinde alan aynı çıkacaktır.)

Aşağıdaki şekilde \(\alpha\) açısını değiştirerek üçgeni hareket ettirebilirsiniz.