Öncelikle ilk ifadenin çözümünü verelim. Bunun için \[f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - n)\] fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyonun kökleri \(A = \{ 1,2,3,...,n\} \) kümesini oluşturmaktadır. Fonksiyonu \[f(x) = {x^n} + {b_1}{x^{n - 1}} + {b_2}{x^{n - 2}} +  ...  + {b_{n - 1}}x + {b_n}\] biçiminde yazarsak kökler toplamının \( - {b_1}\), köklerin ikişerli çarpımlarının toplamının \({b_2}\), köklerin üçerli çarpımlarının toplamının \(-b_3\) ..., köklerin tamamının çarpımının \(n\) nin çift veya tek oluşuna göre \( \pm {b_n}\) olduğunu Vieta  formüyle görebiliriz. O halde \(n\) nin çift ve tek oluşuna göre durumu açıklayalım.

\(n\) çift ise \[\begin{array}{l} f( - 1) = ( - 2)( - 3) ... ( - 1 - n) = 1 - {b_1} + {b_2} - {b_3} +  ...  + {b_n}\\  \Rightarrow  - {b_1} + {b_2} - {b_3} +  ...  + {b_n} = (n + 1)! - 1 \end{array}\] olurken

\(n\) tek ise \[\begin{array}{l} f( - 1) = ( - 2)( - 3) ... ( - 1 - n) =  - 1 + {b_1} - {b_2} + {b_3} -  ...  - {b_n}\\  \Rightarrow  - {b_1} + {b_2} - {b_3} +  ...  + {b_n} = (n + 1)! - 1 \end{array}\] olmaktadır. (İkinci durumda \(n\) tek olduğundan \(( - 2)( - 3) ... ( - 1 - n) =  - (n + 1)!\) olduğuna dikkat ediniz.)

O halde her iki durumda da köklerin birbirleriyle farklı çarpımları toplamının \((n+1)!-1\) olduğunu görüyoruz. Bu, \(A = \{ 1,2,3,...,n\} \) kümesi için ilk soruda aradığımız cevaptan başka birşey değildir. Çünkü \(A\) kümesinin belli bir sayıda eleman (örneğin 2 eleman) ieçeren alt kümelerin elemanlarının çarpımları toplamı ile yazdığımız \(f\) fonksiyonun köklerinin belli bir miktarda (örneğin ikişerli biçimde) çarpımının toplamı aynıdır. O halde ilk soru için cevabımız \[(n + 1)! - 1\] dir.

 Şimdi ikinci sorunun çözümünü verelim. Dikkat ederseniz yazdığımız \(f\) fonksiyonu için \(f(1) = 0\) dır. Öte yandan \[f(1) = 1 + {b_1} + {b_2} + ... + {b_n}\] dir. Ayrıca \(n\) çift için \[f( - 1) = 1 - {b_1} + {b_2} - {b_3} + ... + {b_n}=(n+1)!\] olduğunu yukarıda ifade etmiştik. \(f(1)\) ve \(f(-1)\) değerlerini toplarsak \[2(1 + {b_2} + {b_4} + ... + {b_n}) = (n + 1)!\] bulunur. Demek ki \[{b_2} + {b_4} + ... + {b_n} = \frac{{(n + 1)!}}{2} - 1\] dir. (\(n\) tek için de aynı durumun geçerli olacağını siz gösteriniz.) O halde \(A\) kümesinin boş kümeden farklı çift sayıda eleman içeren kümelerindeki elemanların çarpımları toplamı \[\frac{{(n + 1)!}}{2} - 1\] olur.

Son sorumuzada  \(f(1)\) ve \(f(-1)\) farkından cevap verebiliriz, ama en kısa çözümümüz tabiki tüm durumdan çift olanların durumunu çıkarmak olacaktır. Yani \(A\) kümesinin boş kümeden farklı tek sayıda eleman içeren kümelerindeki elemanların çarpımları toplamı \[(n + 1)! - 1 - \left( {\frac{{(n + 1)!}}{2} - 1} \right) = \frac{{(n + 1)!}}{2}\] bulunur.