- Eşkenar Üçgen - 05/05/2017
- İntegral - 01/04/2016
- İntegral - 10/05/2015
- Kareler 06/01/2015
- Labirent 12/07/2014
- Elips ve Teğetleri 04/07/2014
- İntegral 20/06/2014
- Elips içinde üçgen 28/03/2014
- Mutlak Değer 20/03/2014
- Çemberlere Eşit Uzaklık 03/03/2014
- Köyler arası yollar 23/02/2014
- Ardışık yazılımlar 16/02/2014
- Kombinasyon Özdeşliği 10/02/2014
- Üç kişinin buluşması 25/01/2014
- Parabolün dik teğetleri 05/01/2014
- Bir açı sorusu 24/11/2013
- Alt küme elemanlar çarpımı 07/11/2013
- Kare ve Çemberler 30/10/2013
- Bir cebir sorusu 30/10/2013
- Dörtgen oluşturma olasılığı 01/06/2013
Düzlemde olduğu gibi uzayda da vektörlerle işlemlerin aynı olduğundan daha önceki derslerimizde bahsetmiştik. Şimdi \(XYZ\) dik koordinat sisteminde vektörlerle işlemlerden biraz detaylı bahsedelim.
Bir vektörün uzunluğu
Yukarıdaki şekilden de görüleceği üzere dik koordinat sisteminde verilen \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) nün uzunluğu $$||\overrightarrow{a}||=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$ olur.
Örnek 1
\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(2,-3,k)\) nün uzunluğu \(7\) birim olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının değeri kaç olabilir?
Çözüm
\(||\overrightarrow{a}||^2=2^2+(-3)^2+k^2\)\(\Rightarrow 49=13+k^2\) olur. Böylece \(k^2=36\Rightarrow k=6\) veya \(k=-6\) bulunur.
Temel Birim Vektörler
Uzunluğu 1 birim olan vektörlere birim vektör dendiğini biliyoruz. Tüm birim vektörler içinden üçü temel birim vektör adını almaktadır. Bunlar $$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$$ $$\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)$$ $$\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$$ dir. Her vektör temel birim vektörlerin lineer birleşimi biçiminde yazılabilir. Örneğin \(\overrightarrow{v}=(a,b,c)\) ise $$\overrightarrow{v}=a.\overrightarrow{e_1}+b.\overrightarrow{e_2}+c.\overrightarrow{e_3}$$ olur.
Örnek 2
\(R^3\) de
\(\overrightarrow{v}=2.\overrightarrow{e_1}-3.\overrightarrow{e_2}+4.\overrightarrow{e_3}\Rightarrow\overrightarrow{v}=(2,-3,4) \)
\(\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}-5.\overrightarrow{e_3}\Rightarrow\overrightarrow{v}=(-1,1,-5)\)
\(\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_3}\Rightarrow\overrightarrow{v}=(-3,0,1)\)
\(\overrightarrow{v}=5\overrightarrow{e_2}-2\overrightarrow{e_2}\Rightarrow\overrightarrow{v}=(5,-2,0) \)
Verilen bir vektörle aynı doğrultulu birim vektörler
Verilen bir \(\overrightarrow{v}\) vektörü ile aynı doğrultulu iki farklı birim vektör elde edilebilir. Bu vektörlerden biri \(\overrightarrow{v}\) ile aynı yönlü diğeri de ters yönlüdür. Aynı yönlü birim vektörü bulmak için verilen vektör \(\dfrac{1}{||\overrightarrow{v}||}\) ile çarpılır. Ters yönlü için de doğaldır ki \(-\dfrac{1}{||\overrightarrow{v}||}\) ile çarpılır. Yani \(\overrightarrow{v}=(a,b,c)\) ile aynı yönlü birim vektör \(\overrightarrow{w}\) ise $$\overrightarrow{w}=\dfrac{1}{||\overrightarrow{v}||}\overrightarrow{v}=(\dfrac{a}{||\overrightarrow{v}||},\dfrac{b}{||\overrightarrow{v}||},\dfrac{c}{||\overrightarrow{v}||})$$ olur. Ters yönlü olan da \(-\overrightarrow{w}\) olacaktır.
Örnek 3
\(R^3\) de \(\overrightarrow{v}=(1,-2,2)\) ile aynı yönlü birim vektörü bulalım:
Öncelikle vektörün uzunluğunu bulalım. \(||\overrightarrow{v}||=\sqrt{1+4+4}=3\) olur. Aynı yönlü birim vektörümüz \(\overrightarrow{w}\) olsun. Bu durumda $$\overrightarrow{w}=\dfrac{1}{||\overrightarrow{v}||}\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{3}(1,-2,2)=(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3})$$ bulunur.
Konum Vektörü
\(R^3\) de verilen \(\overrightarrow{AB}\) nün başlangıç noktası orijin olacak biçimde \(XYZ\) dik koordinat sistemine taşınmış haline \(\overrightarrow{AB}\) nün konum vektörü denir.
Şekilde \(\overrightarrow{AB}\) nün konum vektörü \(\overrightarrow{v}\) dür. \(\overrightarrow{AB}\) nün konum vektörü bulmak için $$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$$ bulunur. Kısacası $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$$ yazılabilir.
Örnek 4
\(R^3\) de \(A(2,-5,3)\) noktası ve \(\overrightarrow{AB}=(-3,0,4)\) veriliyor. Buna göre \(||\overrightarrow{B}||\) kaçtır?
Çözüm 4
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\) olduğundan $$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A}$$ olur. O halde $$\overrightarrow{B}=(-3,0,4)+(2,-5,3)=(-1,-5,7)$$ olur. Böylece $$||\overrightarrow{B}||=\sqrt{1+25+49}=5\sqrt{3}$$ bulunur.
İki vektörün paralellik koşulu
\(R^3\) de verilen \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) vektörleri paralel ise lineer bağımlı olacaklardır. Yani biri diğeri türünden yazılabilecektir. Matematiksel olarak bir \(k\in R\) için $$\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}$$ dir. Bu eşitlikte koordinatları yerine yazıp düzenleme yaparsak $$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}$$ paralellik koşulu elde edilir.
Örnek 5
\(R^3\) de \(A(x,y,5)\), \(B(1,-1,4)\) noktaları ve \(\overrightarrow{v}=(2,3,4)\) için \(\overrightarrow{BA}\parallel\overrightarrow{v}\) olduğuna göre \(||\overrightarrow{A}||\) kaçtır?
Çözüm 5
Öncelikle \(\overrightarrow{BA}\) nü bulalım:$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(x-1,y+1,1)$$ olur.
O halde paralellik koşulu gereği $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{1}{4}$$ olur.
Bu ifadeden \(x=\dfrac{3}{2}\) ve \(y=-\dfrac{1}{4}\) bulunur. O halde $$||\overrightarrow{A}||=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{16}+25}=\dfrac{\sqrt{437}}{4}$$ bulunur.
Aşağıdaki videoda Geogebra da eşitsizlikler nasıl elde edileceği kısaca gösterilmiştir.
Video burada görüntülenecektir.