\(XYZ\) koordinat sisteminde şekildeki gibi aralarındaki açının ölçüsü \(\theta\) olacak biçimde \(\overrightarrow{A}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{B}=(b_1,b_2,b_3)\) verilsin.

 

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\) olduğunu biliyoruz. Ayrıca şekildeki \(OAB\) üçgeninde kosinüs teoremi gereği $$||\overrightarrow{AB}||^2=||\overrightarrow{A}||^2+||\overrightarrow{B}||^2-2.||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||.cos\theta$$ olacaktır. Bu iki eşitliği bir araya getirirsek $$(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2-2.||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||.cos\theta$$ olacaktır. Eşitliğin sol tarafı açılıp gerekli işlemler yapılırsa $$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||.cos\theta$$ olur. Dikkat ederseniz eşitliğin sol tarafı vektörlerin iç çarpımına eşittir. Böylece iç çarpım için farklı bir formül elde etmiş oluruz:$$<\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}>=||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||.cos\theta$$

Elde ettiğimiz bu formül gereği

1. Vektörlerin yönü ve doğrultusu aynı ise \(\theta=0\) olacağından $$<\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}>=||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||$$ olur.
2. Vektörlerin yönü farklı ve doğrultusu aynı ise \(\theta=180^{\circ}\) olacağından $$<\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}>=-||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||$$ olur.
3. Diklik koşulu: Vektörler birbirine dik ise \(\theta=90^{\circ}\) dolayısıyla \(cos\theta=0\) olacağından $$<\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}>=0$$ olur. Vektörlerin \(\overrightarrow{0}\) nden farklı olması gerektiğini unutmayın! Aksi halde \(\theta\) dan bağımsız iç çarpım 0 olacaktır.

Yukarıdaki elde ettiğimiz formülden de görüleceği üzere verilen iki vektör arasındaki açının kosinüsü $$cos\theta=\dfrac{<\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}>}{||\overrightarrow{A}||.||\overrightarrow{B}||}$$ olur.

Bir vektörün eksenlerle yaptığı açı ölçülerinin kosinüs değerlerine vektörün doğrultu kosinüsleri denir. Şekilde verilen \(\overrightarrow{v}\) x-ekseni ile \(\theta\), y-ekseni ile \(\beta\) ve z-ekseni ile \(\alpha\) açı ölçülerini oluşturmaktadır.  Verilen \(\overrightarrow{v}=(x_1,x_2,x_3)\) olsun. x-eksenini temsilen \(\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\) nü kullanırsak iki vektör arasındaki açının kosinüs formülünden $$cos\theta=\dfrac{<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>}{||\overrightarrow{v}||.||\overrightarrow{e_1}||}=\dfrac{x_1}{||\overrightarrow{v}||}$$ olur. Benzer biçimde y-eksenini temsilen \(\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)\) nü kullanırsak $$cos\beta=\dfrac{<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_2}>}{||\overrightarrow{v}||.||\overrightarrow{e_2}||}=\dfrac{x_2}{||\overrightarrow{v}||}$$ olur. Son olarak z-eksenini temsilen \(\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)\) nü kullanırsak $$cos\alpha=\dfrac{<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_3}>}{||\overrightarrow{v}||.||\overrightarrow{e_3}||}=\dfrac{x_3}{||\overrightarrow{v}||}$$ olur. O halde $$cos^{2}\theta+cos^{2}\beta+cos^{2}\alpha=\dfrac{x_1^2}{||\overrightarrow{v}||^2}+\dfrac{x_2^2}{||\overrightarrow{v}||^2}+\dfrac{x_3^2}{||\overrightarrow{v}||^2}$$ yani $$cos^{2}\theta+cos^{2}\beta+cos^{2}\alpha=\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{||\overrightarrow{v}||^2}=\dfrac{||\overrightarrow{v}||^2}{||\overrightarrow{v}||^2}=1$$ sonucu elde edilir.