Aşağıdaki grafikte \(y=f(x)\) fonksiyonuna \(x=a\) da çizilen teğetin eğiminin nasıl bulunacağını görsel olarak sunuyorum. Öncelikle \(PQ\) keseninin eğiminin \(m_{PQ}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) olduğunu şekildeki renkli dik üçgenden görebiliriz. \(Q\) noktası \(P\) noktasına yaklaştıkça \(PQ\) keseni \(x=a\) da fonksiyonun teğeti olacaktır. Şekildeki "j" sürgüsünü hareket ettirerek bu durumu inceleyiniz. Tabii \(Q\) noktası \(P\) noktasına yaklaştıkça \(x\) değeri de \(a\) değerine yaklaşacağından \(m_{teğet}=\lim_{x \to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) olacaktır. Benzer biçimde \(R\) noktası da \(P\) noktasına yaklaşacağından \(m_{teğet}=\lim_{x \to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) olacaktır. O halde \(m_{teğet}=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) limiti varsa fonksiyonun \(x=a\) da bir teğeti vardır. Esasında teğetin tanımı budur.

Ekranı temizlemek için "Ctrl+F" ye basabilir ve grafiği yenilemek için sağ üstteki ikona tıklayabilirsiniz.

Elde ettiğimiz \(\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) limiti sadece bir eğrinin teğetini bulurken karşımıza çıkmaz. Fizikte bir hareketlinin anlık hızını bulurken de karşımıza çıkar. Benzer biçimde farklı branşlarda da bu limit karşımıza çıkacaktır. Özünde birbirine bağlı iki değişkenin anlık değişimler oranı olan bu limite fonksiyonun \(x=a\) daki türevi denir ve $$f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ olarak ifade edilir. Özet olarak geçtiğim bu kısmı 12.sınıf Matematik dersi içinde daha detaylı olarak anlatacağım.