- Eşkenar Üçgen - 05/05/2017
- İntegral - 01/04/2016
- İntegral - 10/05/2015
- Kareler 06/01/2015
- Labirent 12/07/2014
- Elips ve Teğetleri 04/07/2014
- İntegral 20/06/2014
- Elips içinde üçgen 28/03/2014
- Mutlak Değer 20/03/2014
- Çemberlere Eşit Uzaklık 03/03/2014
- Köyler arası yollar 23/02/2014
- Ardışık yazılımlar 16/02/2014
- Kombinasyon Özdeşliği 10/02/2014
- Üç kişinin buluşması 25/01/2014
- Parabolün dik teğetleri 05/01/2014
- Bir açı sorusu 24/11/2013
- Alt küme elemanlar çarpımı 07/11/2013
- Kare ve Çemberler 30/10/2013
- Bir cebir sorusu 30/10/2013
- Dörtgen oluşturma olasılığı 01/06/2013
Soru 1
Uzayda farklı 7 nokta en çok kaç düzlem belirtir?
Çözüm 1
Noktaların herhangi 3 ü doğrusal ve herhangi 4 ü de düzlemsel olmayacak biçimde seçilirse \(\binom{7}{3}=35\) farklı düzlem elde edilebilir.
Soru 2
Uzayda 4 ü doğrusal farklı 7 nokta en çok kaç düzlem belirtir?
Çözüm 2
4 ü doğrusal olan noktalardan seçilecek 3 lüler düzlem belirtmeyecektir. Üç farklı biçimde düzlemleri sayabiliriz.
1. Doğrusal 4 nokta dışında kalan 3 noktanın oluşturacağı düzlem sayısı \(\binom{3}{3}=1\)
2. Doğrusal 4 noktanın birinden ve kalan 3 noktanın 2 sinden geçen düzlem sayısı \(\binom{4}{1}\binom{3}{2}=12\)
3. Doğrusal 4 noktanın belirttiği doğrudan ve kalan 3 noktanın 1 inden geçen düzlem sayısı \(\binom{3}{1}=3\)
O halde \(1+12+3=16\) farklı düzlem elde edilebilir.
1. Doğrusal 4 nokta dışında kalan 3 noktanın oluşturacağı düzlem sayısı \(\binom{3}{3}=1\)
2. Doğrusal 4 noktanın birinden ve kalan 3 noktanın 2 sinden geçen düzlem sayısı \(\binom{4}{1}\binom{3}{2}=12\)
3. Doğrusal 4 noktanın belirttiği doğrudan ve kalan 3 noktanın 1 inden geçen düzlem sayısı \(\binom{3}{1}=3\)
O halde \(1+12+3=16\) farklı düzlem elde edilebilir.
Soru 3
Uzayda 4 ü aynı düzlemde olan farklı 7 nokta en çok kaç düzlem belirtir?
Çözüm 3
Koşulsuz belirtilebilecek \(\binom{7}{3}=35\) düzlemden \(\binom{4}{3}=4\) tanesi aynı düzlemde olan 4 nokta tarafından belirlenir. Fakat bu 4 nokta aynı düzlemi belirteceğinden koşul gereği \(35-4+1=32\) farklı düzlem elde edilebilir.
Soru 4
Şekilde T noktası (ABC) düzlemi dışındadır. D,A,E,B ve F noktaları doğrusaldır. Buna göre hangi noktalar (ABC) düzlemindedir?
Çözüm 4
Aşağıdaki şekilden de görüleceği \(A\) ve \(B\) noktaları \((ABC)\) düzleminde olduğundan bu noktalardan geçen \(AB\) doğrusu da \((ABC)\) düzleminde olacaktır. O halde bu doğru üzerindeki \(D,A,E,B\) ve \(F\) noktaları ile \(C\) noktası \((ABC)\) düzlemindedir.
Soru 5
Düzlemin 3 farklı doğrusu bu düzlemi en az ve en çok kaç farklı bölgeye ayırır?
Çözüm 5
Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere doğruları birbirini kesmeyecek biçimde yerleştirerek düzlemi en az 4 farklı bölgeye ayırabiliriz.
Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere doğruları her biri diğerini kesecek biçimde yerleştirerek düzlemi en çok 7 farklı bölgeye ayırabiliriz.
Genel olarak düzlemin \(n\) farklı doğrusu düzlemi en az \(\color{red}{n+1}\) bölgeye en çok \(\color{red}{\frac{n(n+1)}{2}+1}\) bölgeye ayırabilir.
Soru 6
Uzayın 3 farklı düzlemi bu uzayı en az ve en çok kaç farklı alt uzaya ayırır?
Çözüm 6
Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere düzlemleri birbirini kesmeyecek biçimde yerleştirerek uzayı en az 4 farklı alt uzaya ayırabiliriz.
Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere düzlemleri her biri diğerini kesecek biçimde yerleştirerek uzayı en çok 8 farklı alt uzaya ayırabiliriz.
Genel olarak uzayın \(n\) farklı düzlemi, uzayı en az \(\color{red}{n+1}\) ve en çok \(\color{red}{\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}}\) alt uzaya ayırabilir. Bu en çok formülünü bilmenize gerek yok. Olurda karşınıza çıkarsa uygularsınız.
Geometri dersini 12. sınıfa kadar, 9.sınıfta kısıtlı olarak gördüğünüz "Dik Pirizmalar ve Piramitler" ve "Dik dairesel Silindir/ Koni ve Küre" üniteleri dışında, düzlem geometrisi olarak gördünüz.Yani tüm kavramlar 2 boyutlu düzlem geometrisi üzerine kurulmuştu.
12. sınıf geometri dersi ise üç boyutlu uzay üzerine kurulu bir derstir.
Peki uzay ne demektir?
Uzay
Hepsi birden aynı düzlemde olmayan noktalar kümesine uzay denir.
Cabri 3D eklentisini kurduysanız şekillerin üzerine fare ile gelip sağ tuşuna basılı tutarak fareyi oynatmayı deneyiniz.