Uzayda verilen \(\overrightarrow{v_1}\) ve \(\overrightarrow{v_2}\) vektörlerinin doğrultuları aynı olursa birbiri türünden yazılabilirler. Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında 

$$\overrightarrow{v_1}=-2\overrightarrow{v_2}$$

dir.
Bu nedenle bu iki vektör lineer bağımlıdır. Özetle doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır.

Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında verilen \(\overrightarrow{u_1}\) ve \(\overrightarrow{u_2}\) vektörlerinin doğrultuları farklı olduğundan birbiri türünden yazılamazlar. Bu nedenle bu iki vektör lineer bağımsızdır. Özetle doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.

Uzayda verilen \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\) ve \(\overrightarrow{v_3}\) vektörleri ve \(k_1,k_2\in\mathbb{R}\) için 

$$\overrightarrow{v_3}=k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}$$

eşitliği sağlanıyorsa bu vektör üçlüsü lineer bağımlıdır. Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında

$$2\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\Rightarrow\overrightarrow{v_3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{v_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v_2}$$ 

olduğundan bu üç vektör lineer bağımlıdır.

Şekildeki vektörlere dikkat edilirse üçününde doğrultuları farklıdır. Fakat bu üç vektör \((ABG)\) düzlemindedir. Şöyle bir genelleme yapabiliriz; ikişer ikişer doğrultuları farklı lineer bağımlı üç vektör aynı düzlemdedir. Her üçünün de doğrultuları aynı olursa lineer bağımlı olacakları açıktır. Herhangi ikisinin aynı doğrultuda diğerinin ise farklı doğrultuda olduğunu varsayalım. Bu durumda da lineer bağımlı bir üçlü oluşturacaklardır. Örneğin \(\overrightarrow{v_2}\) ve \(\overrightarrow{v_3}\) aynı doğrultulu, \(\overrightarrow{v_1}\) farklı doğrultuda olsun. Bu durumda bir \(k\in\mathbb{R}\) için \(\overrightarrow{v_3}=k\overrightarrow{v_2}\) olacağından 

$$\overrightarrow{v_3}=0\overrightarrow{v_1}+k\overrightarrow{v_2}$$

olacaktır.

Eğer

$$\overrightarrow{v_3}=k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}$$

olacak biçimde \(k_1,k_2\in\mathbb{R}\) değerleri bulunamıyorsa vektörler lineer bağımsız olacaklardır. Yani herhangi biri diğer ikisi türünden yazılamayacaktır. Lineer bağımsız üç vektör uzayda başlangıç noktaları aynı yapıldıktan sonra aynı düzlemde bulunmazlar. Aşağıdaki prizmada bu durum örneklenmiştir. Şekilde \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) ve \(\overrightarrow{w}\) vektörleri lineer bağımsız bir vektör üçlüsüdür. Üçü birden aynı düzlemde bulunmazlar.

Uzayda verilen lineer bağımsız \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\), ve \(\overrightarrow{v_3}\) vektörlerini herhangi bir skalerle çarpıp toplarsak elde edeceğimiz toplam vektörü ile uzayın herhangi bir noktasını eşleyebiliriz. Bu nedenle bu üç vektör arasına ekleyeceğimiz herhangi bir \(\overrightarrow{v_4}\) vektörünü \(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}\) için 

$$\overrightarrow{v_4}=k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+k_3\overrightarrow{v_3}$$

biçiminde yazabiliriz. O halde bu dört vektör lineer bağımlı olur. Özetle uzayda verilen herhangi bir vektör dörtlüsü daima lineer bağımlıdır.

\(\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v_1}\) olacağından şekildeki gibi uç uca ekleme yöntemiyle $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v_1}$$ olur.

\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DA},\) ve \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{GE}\) olacağından şekildeki gibi uç uca ekleme yöntemiyle $$\left \|  \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{FE}\right \|=\left \|  \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GE}\right \|=\left \| \overrightarrow{DE} \right \|$$ olduğu görülür. Bu değer, birim küpün, cisim köşegeninin uzunluğu olacağından cevap \(\sqrt{3}\) olur.

\([DB]\) ve \([CA]\) çizilsin. 10. sınıf geometri dersinden hatırlarsak \(PDB\) üçgeninde \([PR]\) kenarortayı için $$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PR}$$ dir. Benzer biçimde \(PAC\) üçgeninde \([PR]\) kenarortayı için $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PR}$$ dir. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak
$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=4\overrightarrow{PR}$$ elde edilir.

Diğer cisim köşegenleri de çizilsin.$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{PR}\\
\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HR}=\overrightarrow{PR}$$ olur. Bu eşitlikler alt alta toplanır ve $$\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{BR}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{CR}+\overrightarrow{HR}=\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{DR}+\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{0}$$ olduğu görülürse $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PH}=8\overrightarrow{PR}$$ elde edilir.