Soru
Uzayda verilen \(A(4,2,2)\) noktasından geçen koordinat düzlemlerinin üçüne de teğet olan kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm
\(A\) noktası uzayda düzlemlerin oluşturduğu 8 bölgeden koordinatlarının tümü pozitif olan bölgede olduğundan ve bahsi geçen küreler her üç düzleme de teğet olacağından merkez koordinatları da bu bölgede olmalıdır. Ayrıca küre düzlemlere teğet olduğundan merkezin düzlemlere uzaklıkları eşit ve doğaldır ki yarıçap kadar olmalıdır. O halde merkeze \(M(a,a,a)\) ve \(R=a\) diyebiliriz.
\(|MA|=R\) olacağından $$(a-4)^2+(a-2)^2+(a-2)^2=a^2$$ dir. Bu denklemden \(a=2\) ve \(a=6\) bulunur. O halde iki küremiz var ve merkezleri sırasıyla \(M_1=(2,2,2)\) ve \(M_2=(6,6,6)\) dır. Merkezler arasındaki uzaklık $$|M_1M_2|=\sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{3}$$ bulunur. Aşağıdaki 3 boyutlu şekli incelerseniz görsel canlandırmayı rahatlıkla yapabilirsiniz.
Düzlemde olduğu gibi uzayda da Öklid iç çarpımı aşağıdaki biçimde tanımlanır.
\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) verilsin.
Yani vektörlerin aynı tür koordinatları birbiriyle çarpılıp toplanır. Dikkat ederseniz vektörlerin iç çarpımının sonucu bir gerçel sayıdır.
Örnek 1
\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(2,-3,-1)\) ve \(\overrightarrow{b}=(9,0,-6)\) için \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) iç çarpımının değerini bulalım:
Çözüm
\(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=2.9+(-3).0+(-1).(-6)=24\) bulunur.
Öklid iç çarpımının özellikleri:
\(\forall \overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{c}\in R^3\) ve \(\forall \lambda \in R\) için
1. Değişme özelliği $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}>$$
2. Vektörün kendisiyle iç çarpımı, uzunluğunun karesine eşittir.$$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}>=||\overrightarrow{a}||^2$$
3. Dağılma özelliği $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$$
Benzer biçimde
$$<\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$$ dir.
4. Çarpılan vektörlerden herhangi birinin önündeki skaler iç çarpımın dışına alınabilir, dışındaki skaler çarpanda içeri alınabilir, fakat bu işlem yapılırken vektörlerden sadece biri skalerle çarpılır. $$<\lambda \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{a},\lambda\overrightarrow{b}>$$
5. Üçüncü ve dördüncü özellikleri birlikte düşünürsek $$<\lambda \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>=\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$$ ve $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\lambda \overrightarrow{c}>= <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$$
Verilen bu özelliklerden yola çıkarak iç çarpımın önemli sonuçlarından birini elde edelim: