Bu tür sorularda verilen vektörlerin başlangıç noktalarını sisteminin başlangıç noktası olacak biçimde ayrı ayrı $XYZ$ dik koordinat sistemleri oluşturulur. 

Şekilde başlangıç noktası $D$ olan dik koordinat sistemi kurulmuştur. Verilen uzunluklara göre noktaların koordinatları yazıldığında $F(2,5,3)$ olacaktır. Böylece $\overrightarrow{DF}=(2,5,3)$ olur.  Şekilde başlangıç noktası $B$ olan dik koordinat sistemi kurulmuştur. Verilen uzunluklara göre noktaların koordinatları yazıldığında $E(0,-5,3)$ olacaktır. Böylece $\overrightarrow{BE}=(0,-5,3)$ olur.

O halde $$<\overrightarrow{DF},\overrightarrow{BE}>=2.0+5.(-5)+3.3=-16$$ bulunur.

$\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{FE}$ olacağından şekildeki gibi başlangıç noktası $F$ olan dik koordinat sistemi kurulur.

Verilen uzunluklara göre koordinatlar yazıldığında $E(0,-3,0)$ olacaktır. Böylece $\overrightarrow{FE}=(0,-3,0)$ olur.  Şekilde başlangıç noktası $E$ olan dik koordinat sistemi kurulmuştur. Verilen uzunluklara göre noktaların koordinatları yazıldığında $C(-4,3,-2)$ olacaktır. Böylece $\overrightarrow{EC}=(-4,3,-2)$ olur.

O halde $$<\overrightarrow{EC},\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{DA}>=<\overrightarrow{EC},\overrightarrow{FE}>=(-4).0+3.(-3)+(-2).0=-9$$ bulunur.

Şekilde başlangıç noktası $E$ olan dik koordinat sistemi kurulmuştur. Verilen uzunluk ve eşitliklere göre noktaların koordinatları yazıldığında $N(-2,6,-6)$ olacaktır. Böylece $\overrightarrow{EN}=(-2,6,-6)$ olur.  Şekilde başlangıç noktası $A$ olan dik koordinat sistemi kurulmuştur. Verilen uzunluklara ve eşitliklere göre noktaların koordinatları yazıldığında $K(-4,4,6)$ olacaktır. Böylece $\overrightarrow{AK}=(-4,4,6)$ olur.

O halde $$<\overrightarrow{EN},\overrightarrow{AK}>=(-2).(-4)+6.4+(-6).6=-4$$ bulunur.

$<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>=-<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>$ ve $<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>=2<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>+2<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>$ olduğundan

$$<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>-<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>=-3<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>-2<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>$$ olur. 

$<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>=2^2+(-3)^{2}+4^2=29$ ve $<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>=2.1+(-3).0+4.0=2$ olduğundan 

$<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>-<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>=-3.29-2.2=-91$ bulunur. 

$<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>=||\overrightarrow{v}||^2$ olduğunu hatırlayalım. Ayrıca iç çarpımda vektörlerin skaler çarpanlarını dışarı alabildiğimizi de hatırlarsak $<3\overrightarrow{v},-2\overrightarrow{v}>=3.(-2)<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>$ olacaktır. O halde 

$$<3\overrightarrow{v},-2\overrightarrow{v}>=-6||\overrightarrow{v}||^2=-6.3=-18$$ olur. 

Bir önceki derste çıkardığımız önemli sonucu hatırlayalım: $$||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||^2=||\overrightarrow{a}||^2+2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ Verilenleri yerine yazarsak $$5^2=4^2+2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+6^2 \Rightarrow <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=-\dfrac{27}{2}$$ bulunur.

Bir önceki önceki soruda olduğu gibi: $$||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||^2=||\overrightarrow{a}||^2-2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ olacaktır. Temel birim vektörlerin lineer bileşimi biçiminde verilen $\overrightarrow{a}=(2,-3,1)$ olacağından $||\overrightarrow{a}||^2=2^2+(-3)^{2}+1^2=14$ bulunur.  Verilenleri yerine yazarsak $$||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||^2=14-2.6+16=18\Rightarrow ||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||=3\sqrt{2}$$ bulunur.

Verilen iç çarpımda dağılma özelliğini kullanırsak: $$<\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}||^2+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>-2||\overrightarrow{b}||^2$$ olacaktır. Verilenleri bu eşitlikte yerine yazalım $$10=4^2+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>-2.2^2$$ olacağından $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=2$$ bulunur.