Doğru denklemini bir \(k\in R\) parametresine bağlı yazalım: $$\begin{matrix}\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z}{-5}=k\\ \Rightarrow x=4k-1\\\Rightarrow y=-3k+1\\\Rightarrow z=-5k\end{matrix}$$ olur. Şimdi düzlem denkleminde bunları yerine yazalım: $$\begin{matrix}2(4k-1)+(-3k+1)-2(-5k)-14=0\\\Rightarrow 15k-15=0\\\Rightarrow k=1 \end{matrix}$$ bulunur. O halde \(k=1\) için \(x=3\), \(y=-2\) ve \(z=-5\) olacak biçimde doğru ile düzlem bir \(A(3,-2,-5)\) noktasında kesişirler.

Tek bir noktada kesişen doğru ve düzlem arasında bir açı oluşacaktır. Şimdi açıklama kısmında verdiğimiz eşitlikten bu açının sinüs değerini bulalım. Düzlemin normal vektörü \(\overrightarrow{N}=(2,1,-2)\) ve doğrunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow{u}=(4,-3,-5)\) olduğundan $$sin\theta=\dfrac{2.4+1.(-3)-2.(-5)}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}.\sqrt{4^2+3^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ bulunur. O halde doğru ile düzlem arasındaki açının ölçüsü \(\theta=45^{\circ}\) olur. 

Aşağıdaki videoda durumu daha detaylı görebilirsiniz.

Bir \(k\in R\) için doğrunun parametrik denklemini $$\begin{matrix}x=2k-1\\ y=k-3\\z=2k+2\end{matrix}$$ olur. Düzlem denkleminde yerine yazalım $$\begin{matrix}2k-1-4(k-3)+2k+2-1=0\\ \Rightarrow 12=0\end{matrix}$$ elde edilir. Matematiksel olarak doğru olmayan bu ifadenin tek bir anlamı vardır. Doğru ile düzlem kesişmemektedir. Yani doğru düzleme paraleldir. (Düzlemin normal ve doğrunun doğrultu vektörlerinin iç çarpımını da hesaplarsanız \(0\) olduğunu görebilirsiniz, fakat bu durum doğrunun, düzlemin bir doğrusu olup olmadığı hakkında bilgi vermez.)

Öncelikle vektörleri bulalım çünkü iç çarpımları \(0\) olmak zorunda. Düzlemin normal vektörü \(\overrightarrow{N}=(3,1,-b)\) ve doğrunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow{u}=(2,0,1)\) dir. O halde $$\begin{matrix}<\overrightarrow{N},\overrightarrow{u}>=0\\\\ \Rightarrow 6-b=0 \\\\\Rightarrow b=6\end{matrix}$$ bulunur. Şimdi doğruyu parametrik yazalım fakat diğer sorularda olduğu gibi bir \(k\in R\) ile değil de $$\begin{matrix}z=z\\y=3\\x=2z+a \end{matrix}$$ olarak \(z\) ye bağlı yazalım. Doğru düzlemin bir doğrusu olduğu için bu değerler düzlem denklemini sağlamalıdır:  $$\begin{matrix}3(2z+a)+3-6z+6=0\\\\ \Rightarrow 3a+9=0\\\\\Rightarrow a=-3\end{matrix}$$ bulunur. O halde $$a+b=-3+6=3$$ olur.

Düzlemler arasındaki açının ölçüsüne \(\theta\) diyelim. \(\overrightarrow{N_1}=(2,-1,2)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(4,3,5)\) olduğundan $$cos\theta=\dfrac{|<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>|}{||\overrightarrow{N_1}||||\overrightarrow{N_2}||}=\dfrac{|2.4-1.3+2.5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\sqrt{4^2+3^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ olur.

O halde \(\theta=45^{\circ}\) bulunur.

Düzlemler birbirine dik olduğuna göre aralarındaki açının ölçüsü \(90^{\circ}\) dir. Yani normal vektörleri de birbirine diktir. Vektörlerde diklik koşulu gereği iç çarpımları \(0\) olmalıdır. İlk düzlem için \(\overrightarrow{N_1}=(1,-4,1)\), ikinci düzlem için \(\overrightarrow{N_2}=(k,1,-5)\) dir. O halde $$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0 \Rightarrow 1.k-4.1+1.(-5)=0 \Rightarrow k=9$$ bulunur.

İlk düzlem için \(\overrightarrow{N_1}=(3,4,-5)\), ikinci düzlem için \(\overrightarrow{N_2}=(-1,k,0)\) dır. O halde $$cos60^{\circ}=\dfrac{|4k-3|}{5\sqrt{2(k^2+1)}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{|4k-3|}{5\sqrt{2(k^2+1)}}$$ olur. Her iki tarafında karesini alıp gerekli düzenlemeyi yaparsak $$7k^2-48k-7=0$$ denklemi elde edilir. Bu denklemden \(k=7\) veya \(k=-\dfrac{1}{7}\) bulunur. Çarpımları da \(-1\) yapar. Elde ettiğimiz denklemin köklerinin gerçek olduğunu tespit ettikten sonra(?)Δ>0 olmalı kökler çarpımı formülünden de bu cevabı bulabilirdik.

Çözümde geçen detayları anlamak için "Aykırı Doğrular" içeriğini inceleyiniz.

Öncelikle \(d_1\) doğrusunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_1}}  = ( - 1,0,2)\) ve sabit noktası \(A(0,0,4)\); \(d_2\) doğrusunun ise doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( 0,-2,1)\) ve sabit noktası \(A(0,0,2)\) alınabilir. Böylece \(\overrightarrow {AB}  = (0,0, - 2)\) olur. Bu üç vektörün belirteceği determinant hesaplanırsa \(0\) dan farklı olduğu görülecektir. Yani bu doğrular aykırı doğrulardır. Bu durumda her ikisiyle kesişen ve her ikisine de dik olan doğru, bu doğruların birbirine en yakın noktalarından geçen doğrudur. \(\overrightarrow N  = \overrightarrow {{u_1}}  \times \overrightarrow {{u_2}}  = (4,1,2)\) vektörünü ve \(\overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  = (5, - 4, - 8)\) vektörünü kullanarak \(d_1\) doğrusunun \(d_2\) doğrusuna en yakın noktası \(C = A + k\overrightarrow {{u_1}} \) bulalım. \[ < \overrightarrow {AB}  - k\overrightarrow {{u_1}}\quad ,\quad \overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  >  = 0\] olacağından ifadeler yerine yazılırsa \[k =  - \dfrac{{16}}{{21}}\] bulunur. Böylece \[C\left( {\dfrac{{16}}{{21}},0,\dfrac{{52}}{{21}}} \right)\] olur. Ayrıca dikkat edilirse \(\overrightarrow N \) aradığımız doğrunun doğrultu vektörü olacaktır. O halde istenilen doğrunun denklemi gerekli düzenlemelerle : \[\dfrac{{x - 16/21}}{4} = y = \dfrac{{z - 52/21}}{2}\] olarak ifade edilebilir.