Soru 1
\(A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}\) kümesinin alt kümelerinin eleman sayılarının toplamı kaçtır?
\(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerinin eleman sayılarının toplamını veren bir formül elde ediniz.
Çözüm
Öncelikle şu soruya cevap arayalım: \(A\) kümesinin herhangi bir elemanı kaç alt kümede bulunur? Örneğin \(A\) kümesinin kaç alt kümesinde "\(1\)" eleman olarak bulunur? Bunun cevabı basit, tabii ki \(2^8\) farklı alt kümede "\(1\)" eleman olarak bulunur. Yani "\(1\)" elemanı, alt kümelerin eleman sayılarının toplamı hesaplanırken, \(2^8\) defa sayılacaktır. Aynı durum diğer elemanlar için de geçerlidir. Her bir eleman \(2^8\) farklı alt kümenin bir elemanı olacak ve alt kümelerin eleman sayılarının toplamı hesaplanırken her biri \(2^8\) defa sayılacaktır. O halde cevabımız \(9.2^8\) dir.
Demek ki \(n\) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin eleman sayılarının toplamı \(n.2^{n-1}\) dir.
Aslında bu cevabımızla bir özdeşlik elde etmiş oluyoruz:$$1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+...+n\binom{n}{n}=n.2^{n-1}$$ dir.
Soru 2
\(A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamı kaçtır?
\(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamını veren bir formül elde ediniz.
Çözüm
İlk sorudaki çözüm mantığımızla bu sorumuzun cevabı da \((1+2+3+...+9)2^{8}=45.2^8\) olur. Genel olarak \(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamı $$(1+2+3+...+n)2^{n-1}=n(n+1).2^{n-2}$$ olacaktır.
Soru
\(A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right \}\) kümesinin elemanlarını bir kez kullanarak 2 satır ve 5 sütundan oluşan bir tablo doldurmanız isteniyor. Fakat iki koşulunuz var.
- Her bir satırda bulunan sayılar, soldan sağa, küçükten büyüğe doğru sıralı olmalıdır.
- Her bir sütunda bulunan sayılardan küçük olanı üst satırda bulunmalıdır.
Bu koşullara uygun kaç farklı tablo elde edilebilir?
Örnek Tablo:
| 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
| 3 | 6 | 8 | 9 | 10 |
Lütfen çözümleriniz için aşağıdaki yorum bölümünü veya iletişim menüsündeki formu kullanınız.
Cevap
\(C(10,5)-C(10,4)=42\)
Çözüm için "Catalan Sayıları" na bakınız.
Soru 1
\(10\) sayısını pozitif tam sayıların toplamı biçiminde yazmak istiyoruz. Fakat bu tam sayılardan en az birinin tek bir tam sayı olmasını istiyoruz. Kaç farklı biçimde yazabiliriz?
(Örnek: Eğer soru \(4\) için sorulsaydı: \(1+3\), \(3+1\), \(1+1+2\), \(1+2+1\), \(2+1+1\), \(1+1+1+1\) biçiminde \(6\) farklı durum olurdu. Sıranın önemi var!)
Cevap
\(496\)
Soru 2
\(R^3\) te üç çeşit hareket tanımlayalım.
$$H_1:(x,y,z)\rightarrow (x+1,y,z)$$
$$H_2:(x,y,z)\rightarrow (x,y+1,z)$$
$$H_3:(x,y,z)\rightarrow (x,y,z+1)$$
Buna göre \(A(-2,1,0)\) noktasından \(B(4,7,3)\) noktasına kaç farklı yol çizilebilir?
Cevap
\(\dfrac{(6+6+3)!}{6!.6!.3!}=\dfrac{15!}{6!.6!.3!}=420420\)
Lütfen çözümleriniz için aşağıdaki yorum bölümünü veya iletişim menüsündeki formu kullanınız.