Dikkat ederseniz 0<θ<π2 için (1.şekil) ||→PR||=||→a||.cosθ olurken, π2<θ<π için (2.şekil) ||→PR||=−||→a||.cosθ olur. Çünkü ikinci durumda cosθ<0 olacağından ||→PR||>0 yapabilmek için eşitliği − ile çarpmalıyız. O halde her iki durumuda ifade edecek ||→PR||=|||→a||.cosθ| eşitliğini yazabiliriz. Genel olarak her iki eşitlikteki ||→a||.cosθ ifadesine →a nün →b üzerine skaler izdüşümü (izdüşüm vektörünün işaretli boyu) denir. Hatırlarsak →a ve →b nün iç çarpımı <→a,→b>=||→a||.||→b||.cosθ dır. Bu eşitlikten skaler izdüşümü çekersek ||→a||.cosθ=<→a,→b>||→b|| bulunur. O halde iz düşüm vektörünün uzunluğu ||→PR||=|<→a,→b>||→b||| olur. →PR nün kendisini ise →b ile aynı yönlü birim vektörü skaler izdüşümle çarparak bulabiliriz. Yani →PR=<→a,→b>||→b||.1||→b||.→b ⇒→PR=<→a,→b>||→b||2.→b bulunur.
Soru 1
R3 de →a=(5,−4,3) nün →b=(−1,1,1) üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğunu kaç birimdir?
Çözüm 1
İzdüşüm vektörü →c olsun. Bu durumda ||→c||=|<→a,→b>||→b|||=|−5−4+3√1+1+1|=2√3 bulunur.
Soru 2
R3 de →a=(0,−7,5) nün →b=(2,−1,1) üzerine izdüşüm vektörünü bulunuz.
Çözüm 2
İzdüşüm vektörü →c olsun. Bu durumda →c=<→a,→b>||→b||2.→b olacağından →c=0+7+56.→b=2→b=(4,−2,2) bulunur.
Soru 1
R3 de →a=(3,−4,5) ve →b=(7,−1,0) nün belirttiği açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm 1
→a ve →b arasındaki açının ölçüsü α olsun. Bu durumda cosα=<→a,→b>||→a||.||→b|| olacağından cosα=3.7+(−4).(−1)+5.0√32+(−4)2+52.√72+(−1)2=2550=12 bulunur. O halde α=60∘ dir.
Soru 2
 |
Şekildeki dik koordinat sisteminde ||→v||=4, ||→u||=6 ve bu iki vektör arasındaki açının ölçüsü 60∘ olduğuna göre <2→u−→v,→u+2→v> iç çarpımının değeri kaçtır? |
Çözüm 2
Görsellik açısından aşağıdaki şekli istediğiniz biçimde döndürebilirsiniz.
Verilen iç çarpımı açarsak <2→u−→v,→u+2→v>=2||→u||2+3<→u,→v>−2||→v||2 olduğu görülür. Bu eşitlikte <→u,→v>=||→u||.||→v||.cosα=4.6.cos60∘=12 olur. Diğer bilinenleri de yerine yazarsak <2→u−→v,→u+2→v>=2.62+3.12−2.42=76 sonucunu elde ederiz.
Soru 3
R3 de verilen A(2,−1,0), B(k,3,−2) ve C(12,−1,k) noktaları için →AB⊥(→AC+→BC) olduğuna göre k gerçek sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm 3
Öncelikle verilen vektörleri bulalım: →AB=(k−2,4,−2) →AC=(10,0,k) →BC=(12−k,−4,k+2) bulunur. Buradan →AC+→BC=(22−k,−4,2k+2) elde edilir. →AB⊥(→AC+→BC) olduğundan diklik koşulu gereği <→AB,→AC+→BC>=0 olmalıdır. O halde bu iç çarpım yapılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa k2−20k+64=0 denklemi elde edilir. Bu denklemden k=16 ve k=4 bulunur.
Soru 4
 |
Şekildeki →v=(3,0,−3√3) nün z ekseni ile yaptığı geniş açının ölçüsü kaç derecedir? |
Çözüm 4
İstenilen geniş açının ölçüsünü bulmak için z eksenini temsilen →e3=(0,0,1) vektörünü kullanabiliriz. Böylece istenilen alpha açı ölçüsü için cosα=<→e3,→v>||→e3||.||→v||=−3√36=−√32 olur. O halde α=150∘ dir. Görsel destek için aşağıdaki şekli inceleyin.
Soru 5
 |
(0<θ<90∘) olmak üzere XYZ dik koordinat sistemindeki şekilde →v nün eksenlerin pozitif kollarıyla yaptığı açı ölçüleri sırasıyla θ, 135∘ ve 60∘ dir. Buna göre θ kaç derecedir? |
Çözüm 5
Verilen açı ölçülerinin kosinüslerine vektörün doğrultu kosinüsleri dendiğini ve kareleri toplamının 1 e eşit olduğunu önceki dersimizde göstermiştik. O halde cos2θ+cos2135∘+cos260∘=1 cos2θ+12+14=1⇒cos2θ=14 olur. O halde θ=60∘ dir. Görsel destek için aşağıdaki şekli inceleyiniz.
Soru 1
R3 de köşeleri A(2,k,0), B(0,k,4), C(x,y−1,2) ve D(2x,5,0) noktaları olan ABCD yamuğunda [AB]∥[CD] dir. Buna göre x.y çarpımı kaçtır?
Çözüm 1
Öncelikle →AB ve →CD nü bulalım:→AB=→B−→A=(−2,0,4) ve →CD=→D−→C=(x,6−y,−2) olur.
O halde paralellik koşulu gereği x−2=6−y0=−24 olur.
Bu ifadeden x=1 ve y=6 bulunur. (Not: Paydası 0 olan bir oranda payın da 0 olması gerekir.) O halde x.y=6 bulunur.
Soru 2
 |
R3 de verilen şekildeki birim küpte →AP nü bulunuz. |
Çözüm 2
Soru 3
R3 de A(2,0,−1), B(5,−1,0), C(0,3,2) ve D(k,−k,−2) noktaları aynı düzlemde olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm 3
Noktalar aynı düzlemde olduğuna göre belirtecekleri vektör üçlüleri lineer bağımlı olacaktır. Bu vektörleri →AB, →AC ve →AD olarak seçelim. (Farklı seçimler yapılabilir.) →AB=→B−→A=(3,−1,1) →AC=→C−→A=(−2,3,3) →AD=→D−→A=(k−2,−k,−1) olur. Üç vektörün lineer bağımlılığı gereği |3−11−233k−2−k−1|=0 olmalıdır. Determinant hesaplanırsa k=−1 bulunur.
Soru 4
R3 de →v=4→e1−4→e2+2→e3 olduğuna göre →v ile zıt yönlü birim vektörü bulunuz.
Çözüm 4
İstenilen birim vektör →w olsun. Bu durumda →w=−1||→v||→v olacağından →w=−1√42+(−4)2+22(4,−4,2)=−16(4,−4,2)=(−23,23,−13) bulunur.