Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!
\(R^3\) te şekildeki gibi birbirine paralel $$E_1:Ax+By+Cz+D_1=0$$ ve $$E_2:Ax+By+Cz+D_2=0$$ düzlemleri verilsin. Her iki düzleminde normal vektörünün \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) olduğuna dikkat edin. \(A(x_1,y_1,z_1)\) ve \(B(x_2,y_2,z_2)\) noktaları sırasıyla \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemlerine ait olsun. Denklemlerde yerine yazarsak
$$d(E_1,E_2)=\left |\dfrac{<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>}{||\overrightarrow{N}||} \right |$$ olacaktır. Şimdi önce iç çarpımı hesaplayalım:
\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\) ve \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) olduğundan $$\begin{matrix}<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>=Ax_2+By_2+Cz_2-(Ax_1+By_1+Cz_1)\\ \\ \Rightarrow <\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>=D_1-D_2 \end{matrix}$$ olur.
O halde
Örnek 1
\(R^3\) te \(E_1:2x-y+2z-5=0\) ve \(E_2:2x-y+2z+4=0\) düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm
Düzlemlerin birbirine paralel olduğu açıktır. Doğrudan yukarıdaki formülü kullanabilme üzerine bir örnek olduğundan
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | -5-4 \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3$$ bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) te \(E_1:2x-2y+2z-7=0\) ve \(E_2:-x+y-z+8=0\) düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm
\(E_2\) düzleminin denklemini \(-2\) ile genişletirsek \(E_2:2x-2y+2z-16=0\) olur ve \(E_1\) ile paralel olduğu görülür. O halde
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | -7-(-16) \right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ bulunur.
Örnek 3
 |
\(R^3\) te şekildeki gibi eksenleri kestikleri noktaların ilgili koordinatları verilen düzlemler arasındaki uzaklık kaç birimdir? |
Çözüm
Düzlemlerin denklemlerini bulalım.
$$E_1:\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{3}=1\Rightarrow E_1:3x+6y-2z+6=0$$
$$E_2:\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{-3}=1\Rightarrow E_2:3x+6y-2z-6=0$$ olur. O halde
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | 6-(-6) \right|}{\sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}}=\dfrac{12}{7}$$ bulunur.
Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!
\(R^3\) te şekildeki gibi bir \(E:Ax+By+Cz+D=0\) düzlemi ve \(P(x_0,y_0,z_0)\) noktası verilsin. Düzlem üzerinde rastgele bir \(A(x_1,y_1,z_1)\) noktası alalım ve normal \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) nü \(A\) noktasına taşıyalım. Bu durumda \(P\) noktasının düzleme olan uzaklığı \(|AR|\) olacaktır. Dikkat ederseniz aslında bu uzaklık \(\overrightarrow{AP}\) nün \(\overrightarrow{N}\) üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğudur. O halde \(P\) noktasının \(E\) düzlemine olan uzaklığını \(d(P,E)\) ile gösterirsek
Şimdi bu eşitliği biraz açalım. Fakat öncelikle \(A(x_1,y_1,z_1)\) noktası düzleme ait olduğundan, düzlem denklemini sağlamalıdır. Yani
$$Ax_1+By_1+Cz_1+D=0\Rightarrow D=-(Ax_1+By_1+Cz_1)$$ olur.
Öte yandan
$$\overrightarrow{AP}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$$ olduğundan
$$<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N}>=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)=Ax_0+By_0+Cz_0+D$$ olur.
O halde bu eşitlikleri (1) de yerine yazarsak
Örnek 1
\(R^3\) te \(P(4,-1,3)\) noktasının \(E:x-2y+2z-3=0\) düzlemine olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm
Basit bir formülde yerine yazma sorusu olduğu için $$d(P,E)=\dfrac{|4+2+6-3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3$$ bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) te \(P(-1,2,k)\) noktasının \(E:x-y+z-1=0\) düzlemine olan uzaklığı \(4\sqrt{3}\) birim olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm
$$d(P,E)=\dfrac{|-1-2+k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{|k-4|}{\sqrt{3}}$$ olacağından
$$\dfrac{|k-4|}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$ olur. Bu denklemden \(k=16\) veya \(k=-8\) bulunur.
Örnek 3
 |
\(R^3\) te \(O(0,0,0)\) noktasının eksenleri \(A(1,0,0)\),\(B(0,0,2)\) ve \(C(0,3,0)\) noktalarında kesen \(ABC\) düzlemine olan uzaklığını bulunuz. |
Çözüm
Eksenleri kestiği noktaları bilinen düzlemin denkleminden \((ABC)\) nin denklemini bulalım:
$$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{2}=1\Rightarrow 6x+2y+3z-6=0$$ bulunur. O halde \(O(0,0,0)\) noktasının düzleme uzaklığı
$$d(O, (ABC))=\dfrac{|0+0+0-6|}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}=\dfrac{6}{7}$$ bulunur.
Örnek 4
\(R^3\) te \(E:2x+y-z=4\) düzleminden \(\sqrt{6}\) birim uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemlerini bulup yerlerini ifade ediniz.
Çözüm
Verilen şartı sağlayan herhangi bir nokta \(P(x,y,z)\) olsun. Bu durumda
$$d(P,E)=\dfrac{|2x+y-z-4|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|2x+y-z-4|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$$ olacağından
$$|2x+y-z-4|=6$$ olur. Bu eşitlikten
$$2x+y-z-4=6\Rightarrow 2x+y-z=10$$ ve $$2x+y-z-4=-6\Rightarrow 2x+y-z=-2$$ düzlem denklemleri elde edilir. Soruda verilen denkleme ve elde ettiğimiz bu denklemlere bakarsak aslında bu üç düzlemin birbirine paralel olduğunu görürüz. O halde soruda istenen noktaların geometrik yeri, verilen düzlemden eşit uzaklıkta bulunan paralel iki düzlemdir. Daha genel bir ifadeyle
Örnek 5
\(R^3\) te \(A(-2,1,3)\) ve \(B(0,-1,1)\) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemini bulup yerini ifade ediniz.
Çözüm
Verilen şartı sağlayan herhangi bir nokta \(P(x,y,z)\) olsun. Bu durumda \(|AP|=|BP|\) olacağından iki nokta arası uzaklık gereği
$$\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2}=\sqrt{x^2+(y+1)^2+(z-1)^2}$$ olur. Bu eşitlik düzenlenirse
$$x-y-z=-3$$ denklemi elde edilir. Dikkat ederseniz bir düzlem denklemi elde ettik. Yani \(A\) ve \(B\) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktalar aslında bir düzlem belirtiyorlar. Düzlem geometrisinde bu durumu sağlayan noktalar \(AB\) doğru parçasının orta dikme doğrusunu oluştururken, uzayda bu noktalar \(AB\) doğru parçasının orta dikme düzlemini oluştururlar. Daha genel bir ifadeyle
O halde biz bu sorunun çözümü için 2. bir yol daha izleyebiliriz. \([AB]\) nın orta noktası \(C\) olsun.
$$C=\dfrac{A+B}{2}=(-1,0,2)$$ olur. Ayrıca istediğimiz düzlem \([AB]\) na dik olacağından, düzlemin normal vektörünü \(\overrightarrow{N}=\overrightarrow{AB}=(2,-2,-2)\) alabiliriz. O halde istenilen düzlemin denklemi
$$2(x+1)-2(y)-2(z-2)=0\Rightarrow x-y-z=-3$$ bulunur.
$$E_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ ve
$$E_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$
olsun. Bu durumda bir \(k\in R\) için
$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+k(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$
denklemine \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemlerinin belirttiği düzlem demetinin denklemi denir. Burada \(k\) ile çarpılan denklemin \(E_2\) olması şart değildir. Diğeri de olabilirdi.
Denklemin elde edilişi için tıklayın!
Herkesin ilgisini çekmeyeceği için isteğe bağlı olsun diye bu biçimde yazıyı gizledim. Gelelim bu denklemin nasıl elde edildiğine:
Öncelikle şekildeki gibi düzlemlerin arakesiti üzerinde bir \(A(x_0,y_0,z_0)\) noktası alalım ve düzlemlerin \(\overrightarrow{N_1}=(A_1,B_1,C_1)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(A_2,B_2,C_2)\) nü bu noktaya taşıyalım. Benzer biçimde düzlem demetini temsilen \(E\) düzlemi üzerinde bir \(P(x,y,z)\) noktası alalım ve bu düzlemin normal vektörü \(\overrightarrow{N}\) nü de \(A\) noktasına taşıyalım. Bu durumda bu üç vektör lineer bağımlı olacaktır. Çünkü \(A\) noktasından geçen ve arakesit doğrusuna dik olan tek bir düzlem vardır ve bu vektörler bu düzlem üzerindedir. O halde bir \(k_1\in R\) ve \(k_2\in R\) için
$$\overrightarrow{N}=k_1.\overrightarrow{N_1}+k_2.\overrightarrow{N_2}\quad (1)$$ olacaktır.
Ayrıca \(\overrightarrow{N}\perp \overrightarrow{AP}\) olacağından $$<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N}>=0$$ olmalıdır. Bu eşitlikte \((1)\) de elde ettiğimiz eşitliği yerine yazarsak
$$<\overrightarrow{AP},k_1.\overrightarrow{N_1}+k_2.\overrightarrow{N_2}>=k_1<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N_1}>+k_2.<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{N_2}>=0 \quad (2)$$ elde edilir. Bu arada \(\overrightarrow{AP}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\) dır. Şimdi \((2)\) de bu koordinatları ve normal vektörlerinin koordinatlarını yerine yazıp iç çarpımı alırsak
$$\begin{matrix}k_1[A_1x+B_1y+C_1z-(A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0)]+\\\\k_2[A_2x+B_2y+C_2z-(A_2x_0+B_2y_0+C_2z_0)]=0 \quad (3)\end{matrix}$$ olur. \(A(x_0,y_0,z_0)\) noktası her iki düzleme de ait olduğundan, koordinatları düzlem denklemlerinde yerine yazılırsa $$A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0=-D_1$$ ve $$A_2x_0+B_2y_0+C_2z_0=-D_2$$ olduğu görülür. O halde bu eşitlikleri \((3)\) de yerine yazarsak
$$k_1[A_1x+B_1y+C_1z+D_1]+k_2[A_2x+B_2y+C_2z+D_2]=0$$ elde edilir. Eşitliğin her iki tarafını da \(k_1\) e bölüp \(\dfrac{k_2}{k_1}=k\) dersek
$$\begin{matrix}A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\dfrac{k_2}{k_1}(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\\\\ \Rightarrow A_1x+B_1y+C_1z+D_1+k(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 \end{matrix}$$ elde edilir.
Örnek 1
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:x-2y+z-2=0\) ve \(E_2:3x-y-z-4=0\) olan düzlemlerin arakesit doğrusundan ve \(A(1,0,0)\) noktasından geçen düzlemin denklemini bulunuz.
Çözüm
Verilen düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen her düzlem bu doğrunun belirteceği düzlem demeti içindedir. Bu düzleme \(E\) dersek, bir \(k\in R\) için:
$$E:x-2y+z-2+k(3x-y-z-4)=0$$ olacaktır. Verilen \(A(1,0,0)\) noktası bu düzleme ait olduğundan denklemi sağlamalıdır. O halde yerine yazalım:
$$1-2+k(3-4)=0\Rightarrow k=-1$$ bulunur. Şimdi bu değeri yerine yazıp \(E\) düzleminin denklemini elde edelim.
$$E:x-2y+z-2+(-1)(3x-y-z-4)=0\Rightarrow E:-2x-y+2z+2=0$$ bulunur.