\(R^3\) te şekildeki gibi paralel veya çakışık \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemleri verilsin. Her iki durumda da düzlemlerin normal vektörleri \(\overrightarrow{N_1}\) ve \(\overrightarrow{N_2}\) aynı doğrultulu olacağından \(E_1\parallel E_2\) veya \(E_1=E_2\) ise
$$\overrightarrow{N_1}\times\overrightarrow{N_2}=\overrightarrow{0}$$
Düzlemlerin kapalı denklemleri
$$E_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ ve
$$E_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$ olsun.
Bu durumda
$$\overrightarrow{N_1}=(A_1,B_1,C_1)$$ ve
$$\overrightarrow{N_2}=(A_2,B_2,C_2)$$ olacaktır.
Koordinatları verilen lineer bağımlı iki vektör için dış çarpımları \(\overrightarrow{0}\) olması dışında
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$$ koşulu kullanılabilir. Fakat bu eşitlikler bize düzlemlerin paralel mi yoksa çakışık mı olduğu bilgisini vermez. Bu bilgi için \(\dfrac{D_1}{D_2}\) oranının da kıyaslanması gerekir. Eğer bu oran da eşitse düzlemler doğaldır ki eş yani çakışık; eşit değilse düzlemler paraleldir. Özetle
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1=E_2$$
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\neq \dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1\parallel E_2$$
Şimdi de bir doğru (arakesit doğrusu) boyunca kesişen düzlemlerin durumunu inceleyelim.
Kesişen düzlemlerin normal vektörleri aynı doğrultulu değillerdir. Yani normal vektörleri lineer bağımsızdırlar. Bu nedenle şekildeki gibi paralel olmayan farklı iki düzlem bir doğru boyunca kesişecektir. Bu doğruya düzlemlerin arakesit doğrusu dendiğini daha önce söylemiştik. Dikkat ederseniz \(d\) doğrusu her iki düzleminde doğrusu olacaktır. Bu nedenle düzlemlerin normal vektörleri \(d\) doğrusuna da dik olacaktır. O halde doğrunun bir \(\overrightarrow{u}\) doğrultu vektörüne de dik olurlar. Bu durumda \(\overrightarrow{u}\) nü düzlemlerin normal vektörlerinin dış çarpımı olarak alabiliriz. Yani arakesit \(d\) doğrusunun doğrultu vektörü
$$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{N_1}\times\overrightarrow{N_2}$$
Örnek 1
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:2x-3y+kz=1\) ve \(E_2:mx+6y+(1-k)z=-1\) olan düzlemler birbirine paralel olduğuna göre \(m\) ve \(k\) değerlerini bulunuz.
Çözüm
Paralellik koşulu gereği
$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\neq \dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1\parallel E_2$$ olacağından
$$\dfrac{2}{m}=\dfrac{-3}{6}=\dfrac{k}{1-k}\neq \dfrac{-1}{1}$$ olur.
\(\dfrac{2}{m}=\dfrac{-3}{6}\) eşitliğinden \(m=-4\) ve
\(\dfrac{-3}{6}=\dfrac{k}{1-k}\) eşitliğinden \(k=-1\) bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:2x+3y+4z=5\) ve \(E_2:mx+(m-1)y+(m-2)z=-3\) olan düzlemler birbirine dik olduğuna göre \(m\) gerçek sayısının değerini bulunuz.
Çözüm
Birbirine dik olan düzlemlerin şekildeki gibi normal vektörleri de birbirine dik olacaktır. Bu nedenle diklik koşulu gereği
$$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0$$
dır.\(E_1\) düzleminin normal vektörü \(\overrightarrow{N_1}=(2,3,4)\) ve
\(E_2\) düzleminin normal vektörü \(\overrightarrow{N_2}=(m,m-1,m-2)\) olduğundan
$$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0\Rightarrow 2m+3(m-1)+4(m-2)=0$$ yani
$$2m+3m-3+4m-8=0\Rightarrow m=\dfrac{11}{9}$$
bulunur.Örnek 3
\(R^3\) te denklemleri \(E_1:-x+y+2z+1=0\) ve \(E_2:2x-y+z-2=0\) olan düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz.
Çözüm
Konu kısmında bahsettiğimiz üzere arakesit doğrusunun doğrultu vektörü düzlemlerin normal vektörlerinin dış çarpımıyla elde edilebilir.
\(\overrightarrow{N_1}=(-1,1,2)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(2,-1,1)\) olur. Doğrunun doğrultu vektörüne \(\overrightarrow{u}\) diyelim. Bu durumda
$$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{N_1}\times \overrightarrow{N_2}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\-1 &1 &2 \\ 2 &-1 &1 \end{vmatrix}=(3,5,-1)$$ bulunur. Doğrunun denklemini yazabilmek için her iki düzleme de ait olan bir nokta bulmalıyız. Bu noktaya \(A(x,y,z)\) diyelim ve \(z=0\) alalım. Düzlem denklemlerinde yerine yazarsak
$$\begin{matrix}-x+y=-1\\ 2x-y=2\end{matrix}$$ denklemleri elde edilir. Bu denklemler ortak çözülürse \(x=1\) ve \(y=0\) olur. Demek ki \(A(1,0,0)\) noktası düzlemlerin arakesit doğrusu üzerindedir. O halde bir \(k\in R\) ve doğrunun herhangi bir \(P(x,y,z)\) noktası için doğrunun vektörel denklemi
$$P=A+k.\overrightarrow{u}\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,0)+k(3,5,-1)$$ olurken kartezyen denklemi de
$$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{-1}$$ olur.
Aşağıdaki 3 boyutlu şekilde durumu inceleyiniz.
Çözümleriniz için aşağıdaki yorum bölümünü kullanabilirsiniz.
Çözüm
Seçilen kümenin eleman sayısı \(r\) olduğuna göre \(r\) elemanlı alt kümelerin sayısı
$$\binom{n}{r}$$ olur.
Bu kümelerden \(r\) ninci elemanı içeren herhangi biri \(B\) olsun. Bu eleman dışında, \(B\) kümesinin eleman sayısını \(r\) ye tamamlayabilmek için, \(A\) kümesinde geriye kalan \(n-1\) elemandan \(r-1\) eleman daha seçmeliyiz. O halde içinde \(r\) ninci eleman bulunan \(r\) elemanlı kümelerin sayısı
$$\binom{n-1}{r-1}$$ olur.
O halde istenilen olasılık
$$P=\dfrac{\dbinom{n-1}{r-1}}{\dbinom{n}{r}}=\dfrac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}.\dfrac{(n-r)!r!}{n!}=\dfrac{r}{n}$$ bulunur.
\(R^3\) te şekildeki gibi bir \(d\) doğrusu ve dışında bir \(P\) noktası verilsin. \(P\) noktasından \(d\) doğrusuna çizilen dik doğru parçası doğruyu \(H\) noktasında kessin. Bu durumda noktanın doğruya olan uzaklığı \(|PH|\) olacaktır.
Doğru üzerinde bir \(A\) noktası alalım ve \(\overrightarrow{AP}\) nü çizelim. Doğrunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow{u}\) ile \(\overrightarrow{AP}\) nün yaptığı açının ölçüsü \(\theta\) olsun. Bu durumda
$$||\overrightarrow{PH}||=||\overrightarrow{AP}||.sin\theta \quad (1)$$ olur.
Dış çarpım konusu hatırlanırsa
$$||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{AP}||.||\overrightarrow{u}||.sin\theta$$ olduğundan
$$sin\theta = \dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{AP}||.||\overrightarrow{u}||}$$ olacaktır.
Bunu \((1)\) de yerine yazarsak, \(P\) noktasının \(d\) doğrusuna olan uzaklığının
$$||\overrightarrow{PH}||=\dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}$$ formülüyle bulunabileceğini görürüz.
Hazır elimizde güzel bir şekil varken biraz daha ötesini düşünelim ve doğrunun \(P\) noktasına en yakın noktasının yani \(H\) noktasının koordinatlarını bulalım. Böyle bir girişle sanki zor birşey yapacakmışız havası vermiş olabilirim ama esasında çok basit bir biçimde bulabiliriz:
\(\overrightarrow{AP}\) nün \(\overrightarrow{u}\) üzerine izdüşüm vektörü \(\overrightarrow{AH}\) olacağından ve \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{H}-\overrightarrow{A}\) olduğundan
$$H=A+\overrightarrow{AH}$$ olacaktır. Demek ki tek bulmamız gereken izdüşüm vektörüdür ki biz bunu daha önceki derslerimizde vermiştik. Bu bilgiyi hatırlar ve yerine yazarsak
$$H=A+\dfrac{<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{u}>}{||\overrightarrow{u}||^2}.\overrightarrow{u}$$ elde edilir.
Örnek 1
\(R^3\) te \(P(2,1,1)\) noktasının \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{2}\) doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm
\(P\) noktası doğru denklemini sağlamadığı için doğru dışındadır. Doğrunun doğrultu vektörü
$$\overrightarrow{u}=(2,1,2)$$ dir. Doğruya ait bir \(A(x,y,z)\) noktası için doğrudaki eşitlikleri \(0\) yapan değerleri alırsak
$$A(1,-1,3)$$ olur. Böylece
$$\overrightarrow{AP}=(1,2,-2)$$ olur. Uzaklık hesabı için \(\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}\) gerektiğinden
$$\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\1 &2 &-2 \\ 2 &1 &2 \end{vmatrix}=(6,-6,-3)$$ olur. O halde uzaklığa \(d\) dersek
$$d=\dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}=\dfrac{\sqrt{6^2+(-6)^2+(-3)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=3$$ bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) te \(O(0,0,0)\) başlangıç noktasının \(3x+2z=6;\) \(y=2\) doğrusuna olan uzaklığını ve doğrunun bu noktaya en yakın olan noktasını bulunuz.
Çözüm
Öncelikle \(O\) noktasının doğruya olan uzaklığını bulalım.
Doğrunun doğrultu vektörünü, verilen denklem yapısında hemen görmek mümkün değil. Biraz daha aşina olduğumuz düzene getirmek için birkaç işlem yapalım. Öncelikle verilen \(3x+2z=6\) eşitliğinin her iki tarafını da \(6\) ya bölelim.
$$\dfrac{x}{2}+\dfrac{z}{3}=1$$ olur. Şimdi her iki taraftan da \(\dfrac{z}{3}\) çıkarıp eşitliğin sağ tarafında payda eşitleyelim:
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{z-3}{-3}$$ olur. O halde doğrunun denklemini
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{z-3}{-3};y=2$$ biçiminde yazabiliriz. Demek ki doğrunun doğrultu vektörü
$$\overrightarrow{u}=(2,0,-3)$$ olur. Doğruya ait bir \(A(x,y,z)\) noktası için doğrudaki eşitlliği \(0\) yapan değerleri alırsak
$$A(0,2,3)$$ olur. Böylece
$$\overrightarrow{AO}=(0,-2,-3)$$ olur. Uzaklık hesabı için \(\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}\) gerektiğinden
$$\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\0 &-2 &-3 \\ 2 &0 &-3 \end{vmatrix}=(-6,-6,-4)$$ olur. O halde uzaklığa \(d\) dersek
$$d=\dfrac{||\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}=\dfrac{\sqrt{(-6)^2+(-6)^2+(-4)^2}}{\sqrt{2^2+0+(-3)^2}}=\sqrt{\dfrac{88}{13}}$$ bulunur.
Doğrunun \(O\) noktasına en yakın noktası şekildeki gibi \(H\) olsun. \(\overrightarrow{AO}\) nün \(\overrightarrow{u}\) üzerine iz düşüm vektörü \(\overrightarrow{AH}\) olacaktır. O halde
$$\overrightarrow{AH}=\dfrac{<\overrightarrow{AO},\overrightarrow{u}>}{||\overrightarrow{u}||^2}.\overrightarrow{u}=\dfrac{9}{13}.\overrightarrow{u}=(\dfrac{18}{13},0,\dfrac{-27}{13})$$ olur. Böylece
$$H=A+\overrightarrow{AH}=(0,2,3)+(\dfrac{18}{13},0,\dfrac{-27}{13})=(\dfrac{18}{13},2,\dfrac{12}{13})$$ bulunur.
Örnek 3
\(R^3\) te şekildeki gibi ayrıtları eksenler üzerinde olan bir dikdörtgenler prizması veriliyor. Prizmanın \(C\) köşe noktasının \(A\) ve \(B\) köşelerinden geçen \(d\) doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm 1
Öncelikle doğrunun doğrultu vektörünü yazalım.
\(A(2,0,0)\) ve \(B(0,4,4)\) olacağından doğrunun doğrultu vektörü
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,4,4)$$ alınabilir.
Ayrıca şekildeki gibi \(C(2,0,4)\) noktasının doğruya olan uzaklığı \(|CH|\) olacaktır.
$$|CH|=\dfrac{||\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}||}{||\overrightarrow{AB}||}$$ olacağından öncelikle
$$\overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,4)$$ olur.
$$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\0 &0 &4 \\ -2 &4 &4 \end{vmatrix}=(-16,-8,0)$$ olur.
O halde
$$|CH|=\dfrac{||\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}||}{||\overrightarrow{AB}||}=\dfrac{\sqrt{(-16)^2+(-8)^2+0}}{\sqrt{(-2)^2+4^2+4^2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$$ bulunur.
Çözüm 2
Şekildeki gibi \([CB]\) çizilirse, \([AC]\), \((CEBD)\) düzlemine dik olduğu için bu düzlemdeki \([CB]\) na da dik olacaktır. O halde \(ACB\) bir dik üçgendir. \(|CD|=2\) ve \(|DB|=4\) olduğundan \(CDB\) dik üçgeninde \(|CB|=2\sqrt{5}\) bulunur. Benzer biçimde \(|AC|=4\) olduğundan \(ACB\) dik üçgeninde \(|AB|=6\) bulunur. O halde alan eşitliğinden
$$|AC|.|CB|=|AB|.|CH|$$ olacağından
$$|CH|=\dfrac{|AC|.|CB|}{|AB|}=\dfrac{4.2\sqrt{5}}{6}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$$ bulunur.