Dikkat ederseniz \(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) için (1.şekil) \(||\overrightarrow{PR}||=||\overrightarrow{a}||.cos\theta\) olurken, \(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) için (2.şekil) \(||\overrightarrow{PR}||=-||\overrightarrow{a}||.cos\theta\) olur. Çünkü ikinci durumda \(cos\theta<0\) olacağından \(||\overrightarrow{PR}||>0\) yapabilmek için eşitliği \(-\) ile çarpmalıyız. O halde her iki durumuda ifade edecek $$||\overrightarrow{PR}||=|||\overrightarrow{a}||.cos\theta|$$ eşitliğini yazabiliriz. Genel olarak her iki eşitlikteki \(||\overrightarrow{a}||.cos\theta\) ifadesine \(\overrightarrow{a}\) nün \(\overrightarrow{b}\) üzerine skaler izdüşümü (izdüşüm vektörünün işaretli boyu) denir. Hatırlarsak \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) nün iç çarpımı $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||.cos\theta$$ dır. Bu eşitlikten skaler izdüşümü çekersek $$||\overrightarrow{a}||.cos\theta=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||}$$ bulunur. O halde iz düşüm vektörünün uzunluğu $$||\overrightarrow{PR}||=\left | \dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||} \right |$$ olur. \(\overrightarrow{PR}\) nün kendisini ise \(\overrightarrow{b}\) ile aynı yönlü birim vektörü skaler izdüşümle çarparak bulabiliriz. Yani $$\overrightarrow{PR}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||}.\dfrac{1}{||\overrightarrow{b}||}.\overrightarrow{b}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||^2}.\overrightarrow{b}$$ bulunur.
Soru 1
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(5,-4,3)\) nün \(\overrightarrow{b}=(-1,1,1)\) üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğunu kaç birimdir?
Çözüm 1
İzdüşüm vektörü \(\overrightarrow{c}\) olsun. Bu durumda $$||\overrightarrow{c}||=\left | \dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||} \right |=\left | \dfrac{-5-4+3}{\sqrt{1+1+1}} \right |=2\sqrt{3}$$ bulunur.
Soru 2
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(0,-7,5)\) nün \(\overrightarrow{b}=(2,-1,1)\) üzerine izdüşüm vektörünü bulunuz.
Çözüm 2
İzdüşüm vektörü \(\overrightarrow{c}\) olsun. Bu durumda $$\overrightarrow{c}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||^2}.\overrightarrow{b}$$ olacağından $$\overrightarrow{c}=\dfrac{0+7+5}{6}.\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{b}=(4,-2,2)$$ bulunur.
Soru 1
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(3,-4,5)\) ve \(\overrightarrow{b}=(7,-1,0)\) nün belirttiği açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm 1
\(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) arasındaki açının ölçüsü \(\alpha\) olsun. Bu durumda $$cos\alpha=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||}$$ olacağından $$cos\alpha=\dfrac{3.7+(-4).(-1)+5.0}{\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}.\sqrt{7^2+(-1)^2}}=\dfrac{25}{50}=\dfrac{1}{2}$$ bulunur. O halde $$\alpha=60^{\circ}$$ dir.
Soru 2
 |
Şekildeki dik koordinat sisteminde \(||\overrightarrow{v}||=4\), \(||\overrightarrow{u}||=6\) ve bu iki vektör arasındaki açının ölçüsü \(60^{\circ}\) olduğuna göre \(<2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>\) iç çarpımının değeri kaçtır? |
Çözüm 2
Görsellik açısından aşağıdaki şekli istediğiniz biçimde döndürebilirsiniz.
Verilen iç çarpımı açarsak $$<2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>=2||\overrightarrow{u}||^2+3<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>-2||\overrightarrow{v}||^2$$ olduğu görülür. Bu eşitlikte $$<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}>=||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.cos\alpha=4.6.cos60^{\circ}=12$$ olur. Diğer bilinenleri de yerine yazarsak $$<2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>=2.6^2+3.12-2.4^2=76$$ sonucunu elde ederiz.
Soru 3
\(R^3\) de verilen \(A(2,-1,0)\), \(B(k,3,-2)\) ve \(C(12,-1,k)\) noktaları için \(\overrightarrow{AB}\perp (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})\) olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm 3
Öncelikle verilen vektörleri bulalım: $$\overrightarrow{AB}=(k-2,4,-2)$$ $$\overrightarrow{AC}=(10,0,k)$$ $$\overrightarrow{BC}=(12-k,-4,k+2)$$ bulunur. Buradan $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=(22-k,-4,2k+2)$$ elde edilir. \(\overrightarrow{AB}\perp (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})\) olduğundan diklik koşulu gereği \(<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}>=0\) olmalıdır. O halde bu iç çarpım yapılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa $$k^2-20k+64=0$$ denklemi elde edilir. Bu denklemden \(k=16\) ve \(k=4\) bulunur.
Soru 4
 |
Şekildeki \(\overrightarrow{v}=(3,0,-3\sqrt{3})\) nün \(z\) ekseni ile yaptığı geniş açının ölçüsü kaç derecedir? |
Çözüm 4
İstenilen geniş açının ölçüsünü bulmak için \(z\) eksenini temsilen \(\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)\) vektörünü kullanabiliriz. Böylece istenilen \(alpha\) açı ölçüsü için $$cos\alpha=\dfrac{<\overrightarrow{e_3},\overrightarrow{v}>}{||\overrightarrow{e_3}||.||\overrightarrow{v}||}=\dfrac{-3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$$ olur. O halde \(\alpha=150^{\circ}\) dir. Görsel destek için aşağıdaki şekli inceleyin.
Soru 5
 |
(\(0<\theta<90^{\circ}\)) olmak üzere \(XYZ\) dik koordinat sistemindeki şekilde \(\overrightarrow{v}\) nün eksenlerin pozitif kollarıyla yaptığı açı ölçüleri sırasıyla \(\theta\), \(135^{\circ}\) ve \(60^{\circ}\) dir. Buna göre \(\theta\) kaç derecedir? |
Çözüm 5
Verilen açı ölçülerinin kosinüslerine vektörün doğrultu kosinüsleri dendiğini ve kareleri toplamının 1 e eşit olduğunu önceki dersimizde göstermiştik. O halde $$cos^2\theta+cos^2135^{\circ}+cos^260^{\circ}=1$$ $$cos^2\theta+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1\Rightarrow cos^2\theta=\dfrac{1}{4}$$ olur. O halde $$\theta=60^{\circ}$$ dir. Görsel destek için aşağıdaki şekli inceleyiniz.
Soru 1
\(R^3\) de köşeleri \(A(2,k,0)\), \(B(0,k,4)\), \(C(x,y-1,2)\) ve \(D(2x,5,0)\) noktaları olan \(ABCD\) yamuğunda \([AB]\parallel[CD]\) dir. Buna göre \(x.y\) çarpımı kaçtır?
Çözüm 1
Öncelikle \(\overrightarrow{AB}\) ve \(\overrightarrow{CD}\) nü bulalım:$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(-2,0,4)$$ ve $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C}=(x,6-y,-2)$$ olur.
O halde paralellik koşulu gereği $$\dfrac{x}{-2}=\dfrac{6-y}{0}=\dfrac{-2}{4}$$ olur.
Bu ifadeden \(x=1\) ve \(y=6\) bulunur. (Not: Paydası 0 olan bir oranda payın da 0 olması gerekir.) O halde $$x.y=6$$ bulunur.
Soru 2
 |
\(R^3\) de verilen şekildeki birim küpte \(\overrightarrow{AP}\) nü bulunuz. |
Çözüm 2
Soru 3
\(R^3\) de \(A(2,0,-1)\), \(B(5,-1,0)\), \(C(0,3,2)\) ve \(D(k,-k,-2)\) noktaları aynı düzlemde olduğuna göre \(k\) kaçtır?
Çözüm 3
Noktalar aynı düzlemde olduğuna göre belirtecekleri vektör üçlüleri lineer bağımlı olacaktır. Bu vektörleri \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) ve \(\overrightarrow{AD}\) olarak seçelim. (Farklı seçimler yapılabilir.) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(3,-1,1)$$ $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(-2,3,3)$$ $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=(k-2,-k,-1)$$ olur. Üç vektörün lineer bağımlılığı gereği $$\begin{vmatrix}3 &-1 &1 \\ -2 &3 &3 \\ k-2 &-k &-1 \end{vmatrix}=0$$ olmalıdır. Determinant hesaplanırsa \(k=-1\) bulunur.
Soru 4
\(R^3\) de \(\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}+2\overrightarrow{e_3}\) olduğuna göre \(\overrightarrow{v}\) ile zıt yönlü birim vektörü bulunuz.
Çözüm 4
İstenilen birim vektör \(\overrightarrow{w}\) olsun. Bu durumda \(\overrightarrow{w}=-\dfrac{1}{||\overrightarrow{v}||}\overrightarrow{v}\) olacağından $$\overrightarrow{w}=-\dfrac{1}{\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}}(4,-4,2)=-\dfrac{1}{6}(4,-4,2)=(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3})$$ bulunur.