Şekildeki gibi düzlemin bir \(A\) noktası ile \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) doğrultu vektörleri verilsin.
Düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektöre düzlemin normal vektörü denir ve \(\overrightarrow{N}\) olarak ifade edilir. Bu vektör düzleme dik olduğundan düzlemin doğrultu vektörlerine de dik olacaktır. O halde dış çarpım gereği $$\overrightarrow{N}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$$ olur.
Düzlemin herhangi bir noktasını temsilen bir \(P\) noktası alalım. \(\overrightarrow{N}\) düzleme dik olduğundan \(\overrightarrow{AP}\) ne de dik olacaktır.
O halde diklik koşulu gereği $$<\overrightarrow{N},\overrightarrow{AP}>=0$$ dır.
İşte bu denkleme düzlemin kapalı denklemi denir.
Örnek 1
\(R^3\) te \(A(3,-1,5)\) noktasından geçen ve doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{a}=(1,-2,3)\) ile \(\overrightarrow{b}=(0,1,-1)\) olan düzlemin kapalı denklemini bulalım:
Çözüm
\(\overrightarrow{N}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\) olacağından $$\overrightarrow{N}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\1 &-2 &3 \\ 0 &1 &-1 \end{vmatrix}=(-1,1,1)$$ bulunur. Düzlemin herhangi bir noktasını bir \(P(x,y,z)\) temsil etsin. Bu durumda $$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}=(x-3,y+1,z-5)$$ ve \(<\overrightarrow{N},\overrightarrow{AP}>=0\) olacağından $$-1.(x-3)+1.(y+1)+1.(z-5)=0$$ $$\Rightarrow -x+y+z=1$$ kapalı denklemi elde edilir. Düzleme \(E\) düzlemi dersek $$E:-x+y+z=1$$ şeklinde düzlemin denklemini ifade edebiliriz.
Aşağıdaki videoda düzlemin çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 2
\(R^3\) te \(A(3,-1,2)\) noktasından geçen ve normal vektörü \(\overrightarrow{N}=(3,-1,4)\) olan düzlemin kapalı denklemini bulunuz.
Çözüm
Düzlemin bir \(P(x,y,z)\) noktası için $$\overrightarrow{AP}=(x-3,y+1,z-2)$$ olacaktır. O halde \(<\overrightarrow{N},\overrightarrow{AP}>=0\) denkleminden $$3(x-3)-(y+1)+4(z-2)=0$$ $$\Rightarrow 3x-y+4z=18$$ bulunur.
Örnek 3
\(R^3\) te \(A(-1,1,0)\), \(B(0,2,3)\) ve \(C(1,1,-1)\) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz.
Çözüm 1
Şekildeki gibi düzlemin doğrultu vektörlerini \(\overrightarrow{AB}=(1,1,3)\) ve \(\overrightarrow{AC}=(2,0,-1)\) alabiliriz. O halde
$$\overrightarrow{N}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\1 &1 &3 \\ 2 &0 &-1 \end{vmatrix}=(-1,7,-2)$$
olur. Düzlemin bir \(P(x,y,z)\) noktası için
$$\overrightarrow{AP}=(x+1,y-1,z)$$ olur.
\(<\overrightarrow{N},\overrightarrow{AP}>=0\) olacağından düzlemin denklemi
$$3-x-1+7y-7-2z=0$$
$$\Rightarrow -x+7y-2z=8$$ bulunur.
Çözüm 2
Şekildeki gibi düzlemin herhangi bir \(P(x,y,z)\) noktası için \(\overrightarrow{AB}=(1,1,3)\), \(\overrightarrow{AC}=(2,0,-1)\) ve \(\overrightarrow{AP}=(x+1,y-1,z)\) lineer bağımlı bir üçlü olacağından
$$\begin{vmatrix}1 &1&3 \\2 &0 &-1 \\ x+1 &y-1 &z \end{vmatrix}=0$$ olmalıdır. Sarrus yöntemiyle bu determinant hesaplanırsa ilk çözümde elde ettiğimiz aynı denklemi buluruz. Yani
$$-x+7y-2z=8$$ bulunur.
Çizim Videosu
Aşağıdaki videoda düzlemin çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 4
 |
Şekildeki gibi \(R^3\) te eksenleri kestiği noktaların koordinatları verilen düzlemin denklemini bulunuz. |
Çözüm
Düzlemin \(x\), \(y\) ve \(z\) eksenlerini kestiği noktalar sırasıyla \(A(2,0,0)\), \(B(0,3,0)\) ve \(C(0,0,4)\) olsun. Bir önceki örnekte olduğu gibi üç noktası verilen düzlemin denkleminin bulunması üzerine bir çözüm yapalım:
Şekildeki gibi düzlemin doğrultu vektörlerini \(\overrightarrow{AB}=(-2,3,0)\) ve \(\overrightarrow{AC}=(-2,0,4)\) alabiliriz. O halde
$$\overrightarrow{N}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\-2 &3 &0 \\ -2 &0 &4 \end{vmatrix}=(12,8,6)$$
olur. Düzlemin bir \(P(x,y,z)\) noktası için
$$\overrightarrow{AP}=(x-2,y,z)$$ olur.
\(<\overrightarrow{N},\overrightarrow{AP}>=0\) olacağından düzlemin denklemi
$$12(x-2)+8y+6z=0$$
$$\Rightarrow 12x+8y+6z=24$$ bulunur.
Bu denklemin her iki tarafını da 24 e bölelim:
$$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{4}=1$$ elde edilir.
Dikkat ederseniz denklemdeki kesirlerin paydaları düzlemin eksenleri kestiği noktaların ilgili koordinatlarına eşittir. Bu durum bir tesadüf değildir. Aşağıda bunu genelleyelim.
Eksenleri kestiği noktaları bilinen düzlemin denklemi
Şekildeki gibi \(x\), \(y\) ve \(z\) eksenlerini sırasıyla \(A(a,0,0)\), \(B(0,b,0)\) ve \(C(0,0,c)\) noktasında kesen \((ABC)\) düzleminin kapalı denklemi:
$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$$ olur.
Örnek 5
\(R^3\) te kapalı denklemi \(4x-3y+2z=12\) olan düzlemin \(x\), \(y\) ve \(z\) eksenlerini kestiği noktalar sırasıyla \(A\), \(B\) ve \(C\) olduğuna göre, \(ABC\) üçgensel bölgesinin alanını bulunuz.
Çözüm
\(A(a,0,0)\), \(B(0,b,0)\) ve \(C(0,0,c)\) olsun. Bu noktalar verilen denklemde yerine yazılırsa \(a=3\), \(b=-4\) ve \(c=6\) elde edilir. (Denklemin her iki tarafı da 12 ye bölünerekte bu değerler görülebilir.)
Bu durumda \(ABC\) üçgensel bölgesinin alanı şekildeki gibi \(\overrightarrow{BC}=(0,4,6)\) ve \(\overrightarrow{BA}=(3,4,0)\) üzerine kurulu paralelkenarın alanının yarısı olacağından
$$Alan(ABC)=\dfrac{||\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}||}{2}$$ olur.
$$\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\3 &4 &0 \\ 0 &4 &6 \end{vmatrix}=(24,-18,12)$$ olacağından
$$||\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}||=\sqrt{24^2+(-18)^2+12^2}=\sqrt{6^2(4^2+3^2+2^2)}=6\sqrt{29}$$ olur.
O halde
$$Alan(ABC)=\dfrac{6\sqrt{29}}{2}=3\sqrt{29}$$ bulunur.
Aşağıdaki videoda düzlemin çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 6
\(R^3\) te \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z}{4}\) doğrusu ile \(A(2,1,3)\) noktasının belirttiği düzlemin denklemini bulunuz.
Çözüm 1
Uzayda bir doğru ve dışındaki bir noktanın tek bir düzlem belirttiğini 1.ünitede anlatmıştık. Verilen \(A\) noktasının koordinatları doğruda yerine yazılınca eşitlikleri sağlamadığı görüleceği üzere bu nokta doğrunun dışındadır. O halde şekildeki gibi bir düzlem modeli çizebiliriz.
Doğrunun denklemine bakarsak doğrultu vektörü \(\overrightarrow{a}=(2,3,4)\) olacaktır. Doğruya ait rastgele bir \(B\) noktası seçelim. Bunu yaparken kolaylık açısından doğrudaki eşitlikleri 0 yapan değerleri alalım. Bu durumda \(B(1,-1,0)\) olacaktır. (Tabii ki başka noktalarda alınabilirdi.) Bu durumda düzlemin doğrultu vektörlerinden biri \(\overrightarrow{a}=(2,3,4)\) ve diğeri \(\overrightarrow{BA}=(1,2,3)\) olacaktır. Artık düzlemin normal vektörünü bulabiliriz:
$$\overrightarrow{N}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{BA}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\2 &3 &4 \\ 1 &2 &3 \end{vmatrix}=(1,-2,1)$$ olur.
Düzlemin bir \(P(x,y,z)\) noktası için \(\overrightarrow{AP}=(x-2,y-1,z-3)\) olacağından \(\overrightarrow{AP}\) ile \(\overrightarrow{N}\) nün iç çarpımından düzlemin kapalı denklemini elde edebiliriz:
$$1.(x-2)-2(y-1)+1(z-3)=0$$
$$\Rightarrow x-2y+z=3$$ bulunur.
Aşağıdaki videoda düzlemin çizimini izleyebilirsiniz.
Çözüm 2
Doğruya ait 1.çözümdeki \(B(1,-1,0)\) noktasından farklı bir \(C(3,2,4)\) noktası daha alalım. (Doğrudaki eşitlikleri 1 e eşitleyerek elde ettik. Farklı noktalar da alınabilirdi.)
Üçüncü örneğin 2.çözümünde olduğu gibi \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\) ve düzlemin herhangi bir \(P(x,y,z)\) noktası için \(\overrightarrow{BP}\) lineer bağımlı olacaktır.
$$\overrightarrow{BA}=(1,2,3)$$
$$\overrightarrow{BC}=(2,3,4)$$
$$\overrightarrow{BP}=(x-1,y+1,z)$$ olur. O halde
$$\begin{vmatrix}1 &2&3 \\2 &3 &4 \\ x-1 &y+1 &z \end{vmatrix}=0$$ olmalıdır.
Bu determinant alınırsa düzlemin denklemi
$$x-2y+z=3$$ bulunur.
Şekildeki \(P\) noktasını hareket ettirerek bu durumu inceleyebilirsiniz.
Örnek 1
\(R^3\) te \(A(1,-3,0)\) noktasından geçen ve doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{a}=(2,-1,3)\) ile \(\overrightarrow{b}=(-1,0,4)\) olan düzlemin parametrik denklemini bulalım:
Çözüm
Basit bir örnekle başladık
Parametrik denklem:$$(x,y,z)=(1,-3,0)+k_1.(2,-1,3)+k_2.(-1,0,4)$$ olur.
Biz bir adım ötesine geçelim ve denklemdeki \(k_1\) ve \(k_2\) parametrelerini koordinatlara dağıtarak \(x\), \(y\) ve \(z\) yi bulalım:
$$x=1+2k_1-k_2$$
$$y=-3-k_1$$
$$z=3k_1+4k_2$$
olur. Dikkat ederseniz \(k_1=-y-3\) dir. Ayrıca \(x\) i 4 ile çarpıp \(z\) ile toplarsak \(4x+z=4+11k_1\) elde edilir. Bu iki eşitliği beraber düşünürsek
$$4x+z=4+11(-y-3)$$
$$4x+11y+z=-29$$
olur. Bu denkleme düzlemin kapalı denklemi denir. Zahmetli bir biçimde bulduğumuz bu denklemi bir sonraki yazımızda daha pratik olarak elde edeceğiz.
Soruda geçen düzlemin çizimini aşağıdaki videoda izleyebilirsiniz.
Örnek 2
\(R^3\) te \(A(5,-3,4)\) noktasından geçen ve doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{a}=(-3,2,0)\) ile \(\overrightarrow{b}=(1,4,3)\) olan düzlemin bir noktası \(P(-2,m,1)\) olduğuna göre \(m\) gerçek sayısının değerini bulunuz.
Çözüm
\(k_1 \in R\) ve \(k_2 \in R\) için düzlemin parametrik denklem:$$(x,y,z)=(5,-3,4)+k_1.(-3,2,0)+k_2.(1,4,3)$$ olur.
\(P(-2,m,1)\) noktası düzleme ait olduğuna göre
$$(-2,m,1)=(5,-3,4)+k_1.(-3,2,0)+k_2.(1,4,3)$$ olmalıdır. Bu durumda
$$-2=5-3k_1+k_2$$
$$m=-3+2k_1+4k_2$$
$$1=4+3k_2$$
olur. Son eşitlikten \(k_2=-1\) bulunur ve ilk eşitlikte yerine yazılırsa \(k_1=2\) bulunur. Böylece
$$m=-3+2.2+4.(-1)=-3$$ bulunur.
Önceki konunun devamı olan bu yazıda eksenlere paralel doğrular ile eksenleri kesen doğruların denklemlerini inceleyeceğiz.
Örnek 1
\(R^3\) te $$d:\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1, z=0$$ doğrusunun \(x\) ve \(y\) eksenini kestiği noktaların orta noktasından geçen ve \(z\) eksenine paralel olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Verilen doğru \(x\) eksenini \(A(4,0,0)\) ve \(y\) eksenini \(B(0,6,0)\) noktasında kesecektir. Bu noktaların orta noktası \(C\) olsun. Bu durumda $$C=\dfrac{A+B}{2}=(2,3,0)$$ bulunur. O halde bir \(k \in R\) için \(C\) noktasından geçen ve \(z\) eksenine paralel olan doğrunun denklemi $$d:x=2,y=3,z=k$$ olur.
Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 2
\(R^3\) te
$$d_1:2x+(m-1)z=4, y=0$$
$$d_2:5y+(3-m)z=12, x=0$$
doğruları bir noktada kesiştiğine göre \(m\) gerçek sayısının değerini bulunuz.
Çözüm
Doğruların kesiştikleri nokta \(A(x,y,z)\) olsun. \(A \in d_1\) olduğundan \(y=0\) dır. Ayrıca \(A \in d_2\) olduğundan \(x=0\) dır. O halde \(A(0,0,z)\) dir. Her iki doğru denkleminde koordinatlarını yerine yazalım:
$$(m-1)z=4 \Rightarrow z=\dfrac{4}{m-1}$$
$$(3-m)z=12 \Rightarrow z=\dfrac{12}{3-m}$$
olur. O halde
$$\dfrac{4}{m-1}=\dfrac{12}{3-m} \Rightarrow m=\dfrac{3}{2}$$
bulunur.