Elde ettiğimiz bu denklemde \(P\) ve \(A\) noktaları ile \(\overrightarrow{v}\) nün koordinatlarını yerine yazarsak
$$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+k(a,b,c)$$ olacağından$$x=x_0+k.a$$
$$y=y_0+k.b$$
$$z=z_0+k.c$$
Şimdi de elde ettiğimiz bu parametrik denklemde \(k\) parametresini her bir eşitlikte yalnız bırakırsak, koordinatlar arasında
$$k=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$$
bağıntısını elde edilir. Bu bağıntıya da doğrunun kartezyen denklemi denir ve
Örnek 1
\(R^3\) te \(A(-1,2,3)\) noktasından geçen ve \(\overrightarrow{v}=(3,-4,2)\) ne paralel olan doğrunun vektörel, parametrik ve kartezyen denklemlerini bulalım:
Çözüm
Vektörel denklem:$$(x,y,z)=(-1,2,3)+k.(3,-4,2)$$ olur.
Parametrik denklem:
$$x=-1+3k$$
$$y=2-4k$$
$$z=3+2k$$
olur.
Kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z-3}{2}$$ olur.
Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 2
\(R^3\) te \(A(-2,3,-1)\) ve \(B(-3,-2,1)\) noktasından geçen doğrunun kartezyen denklemini bulalım:
Çözüm
Doğrultu vektörü verilmeyen bu soruda doğrultu vektörü olarak \(\overrightarrow{AB}\) nü alabiliriz.
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(-1,-5,2)$$ olur.
O halde A noktasına göre kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y-3}{-5}=\dfrac{z+1}{2}$$ olur.
B noktasına göre ise kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x+3}{-1}=\dfrac{y+2}{-5}=\dfrac{z-1}{2}$$ olur.
Farklı ifade edilen bu denklemlerin ikisi de aynı doğruyu ifade eder.
Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 3
\(R^3\) te \(A(0,3,4)\) noktasından geçen ve \(\overrightarrow{v}=(2,-1,0)\) ne paralel olan doğrunun parametrik ve kartezyen denklemlerini bulalım:
Çözüm
Parametrik denklem:
$$x=0+2.k \Rightarrow x=2k$$
$$y=3+(-1).k \Rightarrow y=3-k$$
$$z=4+0.k \Rightarrow z=4$$
olur.
Dikkat ederseniz \(z\) değeri \(k\) parametresinden bağımsızdır. Bu durum kartezyen denklemde aşağıdaki biçimde ifade edilir:
Kartezyen denklem: $$d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}; z=4$$ olur. \(z\) değerinin \(k\) parametresinden bağımsız olması \(d\) doğrusunun \(z=4\) düzleminde yer alması anlamına gelir. Bir sonraki ünitede düzlemleri inceledikten sonra bu durumu daha iyi anlayacaksınızdır.
Aşağıdaki videoda doğrunun çizimini izleyebilirsiniz.
Örnek 4
\(R^3\) te denklemi
$$d_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-4}; z=4$$
$$d_2:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{z+1}{5}; y=2$$
$$d_3:\dfrac{y-1}{7}=\dfrac{z+2}{6}; x=-1$$
olan doğruların doğrultu vektörlerini bulalım:
Çözüm
Bir önceki örnekte doğru denkleminde doğruya ait noktalar için \(z\) değerinin sabit olarak \(z=4\) olduğunu görmüştük. Dikkat ederseniz o örnekte doğrultu vektörünün \(z\) koordinatı 0 olduğu için bu durumla karşılaşmıştık. Çünkü parametrik denklemde 0 değeri \(k\) parametresini yutmuştu.
Bu nedenle üstündeki noktaların herhangi bir koordinatı sabit bir sayıya eşit olan doğruların doğrultu vektörlerinin bahsi geçen bu koordinatı 0 olmalıdır. O halde doğruların doğrultu vektörleri sırasıyla \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) ve \(\overrightarrow{v_3}\) olmak üzere
$$\overrightarrow{v_1}=(3,-4,0)$$
$$\overrightarrow{v_2}=(2,0,5)$$
$$\overrightarrow{v_3}=(0,7,6)$$
olur. Doğrultu vektörü doğruyla aynı doğrultulu her vektör olabileği için, bu vektörler doğruların tek ve geçer doğrultu vektörleri değillerdir. Bu vektörlerin 0 dan farklı bir skalerle çarpılmış halleri de doğrultu vektörü olarak değerlendirilebilir. Örneğin bulduğumuz ilk vektörün 2 katı $$\overrightarrow{v_1}=(6,-8,0)$$ \(d_1\) doğrusu için doğrultu vektürü olabilir.