Amaçlar
Bu ünite bittiğinde
- Uzayda bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemlerini yazabilecek ve uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda bir düzlemin parametrik ve kapalı denklemlerini yazabilecek ve uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulabileceksiniz.
- Uzayda iki düzlemin birbirine göre durumlarını açıklayabilecek ve uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda bir noktanın bir düzleme olan uzaklığını bulup uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda iki düzlem arasındaki uzaklığı hesaplayıp uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda iki düzlem arasındaki açıyı bulup uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda bir doğru ve bir düzlemin birbirlerine göre konumunu belirleyip uygulamalar yapabileceksiniz.
- Uzayda iki doğrunun birbirine göre konumunu belirleyip uygulamalar yapabileceksiniz.
Lütfen dikkatinizi çeken hataları bildiriniz. Bunun için "İletişim" bölümünü kullanabilirsiniz.
Soruların yazdırılabilir PDF hali için sayfa sonuna bakınız!
Soru 1
Uzayda 4 ü doğrusal farklı 8 nokta en çok kaç düzlem belirtir?
Cevap
32
Soru 2
 |
Şekildeki düzgün beşgen prizmanın köşelerinden en az üçünden geçen kaç farklı düzlem çizilebilir? |
Cevap
\[C(10,3) - 15 \cdot (C(4,3) - 1) - 2(C(5,3) - 1) = 120 - 45 - 18 = 57\]
Soru 3
\(R^3\) te \(A(2,-1,3)\) ve \(B(-1,0,2)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevap
\(\sqrt{11}\)
Soru 4
\(R^3\) te \(\overrightarrow{A}=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3}\) ve \(\overrightarrow{B}=(3,0,4)\) olduğuna göre \(2\overrightarrow{A}-3\overrightarrow{B}\) nü bulunuz.
Cevap
\((-5,-6,-10)\)
Soru 5
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(1,-2,1)\), \(\overrightarrow{b}=(3,0,4)\) ve \(\overrightarrow{c}=(-1,k,-k)\) lineer bağımlı olduğuna göre \(k\) gerçek sayısı kaçtır?
Cevap
\(\dfrac{8}{7}\)
Soru 6
\(R^3\) te \(A(-2,1,3)\) ve \(B(0,-2,-3)\) noktaları için \(\overrightarrow{AB}\) ile aynı yönlü birim vektörü bulunuz.
Cevap
\(\left ( \dfrac{2}{7},-\dfrac{3}{7},-\dfrac{6}{7} \right )\)
Soru 7
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(-1,2,1)\) ve \(\overrightarrow{b}=(2,1,-k)\) için \(<\overrightarrow{a},2\overrightarrow{b}>=4\) olduğuna göre \(k\) gerçek sayısı kaçtır?
Cevap
\(-2\)
Soru 8
\(R^3\) te \(||\overrightarrow{a}||=6\), \(||\overrightarrow{b}||=3\) ve \(||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}||=1\) birim olduğuna göre \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) iç çarpımının değeri kaçtır?
Cevap
\(\dfrac{71}{4}\)
Soru 9
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}-3\overrightarrow{e_3}\), \(||\overrightarrow{b}||=2\) ve \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=-3\) olduğuna göre \(||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\) kaç birimdir?
Cevap
\(2\sqrt{6}\)
Soru 10
 |
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında \(|EH|=4\) birim, \(|GC|=6\) birim, \(|AB|=3\) birim, \(K\) ve \(L\) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğuna göre \(<\overrightarrow{EK},\overrightarrow{AL}>\) iç çarpımının değeri kaçtır? |
Cevap
\(-1\)
Soru 11
\(R^3\) te \(A(-2,1,1)\), \(B(4,-1,3)\), \(C(2,0,1)\) ve \(D(k,m,-1)\) noktaları için \([AB]\parallel[CD]\) olduğuna göre \(m+k\) toplamı kaçtır?
Cevap
\(-2\)
Soru 12
\(R^3\) te \(A(1,-2,-3)\), \(B(0,k,-3)\) ve \(C(-1,2,5)\) noktaları için \([AB]\perp[BC]\) olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının alabileceği değerler nelerdir?
Cevap
\(\sqrt{5}\) ve \(-\sqrt{5}\)
Soru 13
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(-1,2,2)\) ve \(\overrightarrow{b}=(3,4,5)\) nün belirttiği açının ölçüsü kaç derecedir?
Cevap
\(45\)
Soru 14
 |
Şekildeki \(XYZ\) dik koordinat sisteminde \(\overrightarrow{u}\) ile \(\overrightarrow{v}\) arasındaki açının ölçüsü 120 derece, \(||\overrightarrow{u}||=4\) birim ve \(||\overrightarrow{v}||=3\) birim olduğuna göre \(<3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}>\) iç çarpımının değeri kaçtır? |
Cevap
\(0\)
Soru 15
\(R^3\) te \(\overrightarrow{b}=(3,-4,5)\) ve \(\overrightarrow{c}=(1,0,-7)\) nün belirttiği açının açıortay vektörü \(\overrightarrow{a}=(1,-1,k)\) olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının değeri kaçtır?
Cevap
\(-\dfrac{1}{2}\)
Soru 16
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(-1,1,\sqrt{2})\) nün y-ekseni ile yaptığı dar açının ölçüsü kaç derecedir?
Cevap
\(60\)
Soru 17
 |
Şekildeki \(\overrightarrow{a}\) sırasıyla y ve z eksenleri ile 45 ve 60 derecelik açı yaptığına göre, x ekseni ile yapacağı dar açının ölçüsü kaç derecedir? |
Cevap
\(60\)
Soru 18
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(7,-1,0)\) nün \(\overrightarrow{b}=(3,1,\sqrt{6})\) üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir?
Cevap
\(5\)
Soru 19
\(R^3\) te \(A(-1,2,3)\), \(B(0,1,4)\) ve \(C(1,-1,3)\) noktaları için \(\overrightarrow{AB}\) nün \(\overrightarrow{BC}\) üzerine izdüşüm vektörünü bulunuz.
Cevap
\(\left ( \dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right )\)
Soru 20
\(R^3\) te \(A(-3,4,5)\) noktasına karşılık gelen vektörün \(\overrightarrow{v}=(1,2,0)\) üzerine izdüşümünü bulunuz.
Cevap
\((1,2,0)\)
Soru 21
 |
Şekildeki verilenlere göre \(\overrightarrow{a}\) nün \(d\) doğrusu üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir? |
Cevap
\(\dfrac{32}{5}\)
Soru 22
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(-1,0,1)\) ve \(\overrightarrow{b}=(0,2,3)\) için \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) nü bulunuz.
Cevap
\((-2,3,-2)\)
Soru 23
\(R^3\) te \(||\overrightarrow{a}||=4\) birim, \(||\overrightarrow{b}||=8\) birim ve \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) olduğuna göre \(||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||\) kaç birimdir?
Cevap
\(32\)
Soru 24
\(R^3\) te \(||\overrightarrow{a}||=2\sqrt{3}\) birim, \(\overrightarrow{b}=(-2,1,2)\) ve \(||\overrightarrow{a}\times(2\overrightarrow{b})||=6\sqrt{6}\) birim olduğuna göre \(\overrightarrow{a}\) ile \(\overrightarrow{b}\) arasındaki açının ölçüsü kaç derece olabilir?
Cevap
\(45\) veya \(135\)
Soru 25
\(R^3\) te \(A(2,1,1)\), \(B(1,2,2)\) ve \(C(0,0,3)\) için \(\overrightarrow{AB}\) ve \(\overrightarrow{BC}\) üzerine kurulu paralelkenarın alanı kaç birim karedir?
Cevap
\(3\sqrt{2}\)
Soru 26
 |
Şekilde köşeleri eksenler üzerinde verilen üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? |
Cevap
\(\dfrac{7}{2}\)
Soru 27
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(-1,2,1)\), \(\overrightarrow{b}=(0,-1,0)\) ve \(\overrightarrow{c}=(3,0,2)\) üzerine kurulu paralelyüzlünün hacmi kaç birim küptür?
Cevap
\(5\)
Soru 28
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}\) olduğuna göre \(<\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{a}>\) iç çarpımının değeri kaçtır?
Cevap
\(2\)
Soru 29
\(R^3\) te \(\overrightarrow{a}=(1,0,4)\), \(\overrightarrow{b}=(-2,1,1)\) ve \(\overrightarrow{c}=(0,-1,-3)\) olduğuna göre \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}\) vektörünü bulunuz.
Cevap
\((2,-3,1)\)
Soru 30
\(R^3\) te \(A(-2,1,k)\) ve \(B(n,0,1)\) noktaları ile \(\overrightarrow{u}=(2,-1,3)\) ve \(\overrightarrow{v}=(0,2,-1)\) veriliyor. \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{u}\) ve \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{v}\) olduğuna göre \(k+n\) toplamı kaçtır?
Cevap
\(\dfrac{7}{2}\)
Soru 31
\(R^3\) te \(A(2,0,1)\), \(B(-1,1,0)\), \(C(3,1,1)\) ve \(D(k,-m,0)\) noktaları veriliyor. \(\overrightarrow{AD}\perp(ABC)\) olduğuna göre \(\dfrac{k}{m}\) oranı kaçtır?
Cevap
\(9\)
Soru 32
\(R^3\) te \(||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) olduğuna göre \(\overrightarrow{a}\) ile \(\overrightarrow{b}\) arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
Cevap
\(45\)
Soru 33
 |
Şekildeki dörtyüzlüde \(G\) noktası \(ABC\) üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi, \(D\), \(P\) ve \(G\) doğrudaş ve \(4|DP|=3|DG|\) dir. Buna göre $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$$ olduğunu ispatlayınız. Bu eşitliğe dayanarak \(P=\dfrac{A+B+C+D}{4}\) olduğunu gösteriniz. |
Dış Çarpım Vektörünün Uzunluğu
\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) için dış çarpım vektörünü
biçiminde tanımlamıştık. O halde \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) nün belirttiği açının ölçüsü \(\theta\) olmak üzere
\(=(a_1b_2)^2+(a_1b_3)^2+(a_2b_1)^2+(a_2b_3)^2+(a_3b_1)^2+(a_3b_2)^2\)
\(-2(a_1b_1a_2b_2+a_1b_1a_3b_3+a_2b_2a_3b_3)\)
\(={\color{red}(a_1b_1)^2}+(a_1b_2)^2+(a_1b_3)^2+(a_2b_1)^2+{\color{red}(a_2b_2)^2}+(a_2b_3)^2\)
\(+(a_3b_1)^2+(a_3b_2)^2+{\color{red}(a_3b_3)^2}\)
\(-[{\color{red}(a_1b_1)^2}+{\color{red}(a_2b_2)^2}+{\color{red}(a_3b_3)^2}+2(a_1b_1a_2b_2+a_1b_1a_3b_3+a_2b_2a_3b_3)]\)
\(=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\)
\(=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2-<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>^2\)
\(=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2-||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2cos^2\theta\)
\(=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2(1-cos^2\theta)\)
\(=||\overrightarrow{a}||^2.||\overrightarrow{b}||^2sin^2\theta\) bulunur.
Demek ki
$$||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||=||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||sin\theta$$
olur. (Dikkat ederseniz \(0\leqslant \theta\leqslant \pi\) için \(sin\theta\geqslant 0\) olduğundan \(|sin\theta|=sin\theta\) dır.)
Sonuçları
Şekildeki gibi \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) üzerine kurulan paralelkenarın alanı \(||\overrightarrow{a}||.(||\overrightarrow{b}||.sin\theta)\) olacağından
Şekildeki gibi \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) ve \(\overrightarrow{c}\) üzerine kurulan paralelyüzlünün hacmi \(V=A.h\) dır. Fakat biliyoruz ki
Örnek 1
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(-1,2,1)\) ve \(\overrightarrow{b}=(1,0,1)\) üzerine kurulu paralelkenarın alanı kaç birim karedir?
Çözüm 1
$$Alan=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||$$ olduğundan öncelikle dış çarpım vektörünü bulalım: $$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\ -1 &2 &1 \\ 1&0 &1 \end{vmatrix}=2\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}-2\overrightarrow{e_3}$$ o halde $$Alan=||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}||=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{3}$$ bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(4,-1,0)\), \(\overrightarrow{b}=(2,0,3)\) ve \(\overrightarrow{c}=(1,1,-1)\) üzerine kurulu paralelyüzlünün hacmi kaç birim küptür?
Çözüm 2
$$Hacim=\left | \begin{vmatrix}4 &-1 &0 \\ 2 &0 &3 \\ 1 &1 &-1 \end{vmatrix} \right |$$ olacağından tek yapmamız gereken bu determinantı hesaplamaktır.
3.satırı 1.satıra eklersek ve 3.satırın 2.elemanına göre determinant hesaplarsak (Sarrus tabii ki kullanılabilir) $$Hacim=\left | \begin{vmatrix}5 &0 &-1 \\ 2 &0 &3 \\ 1 &1 &-1 \end{vmatrix} \right |=\left | (-1).\begin{vmatrix}5 &-1 \\ 2&3 \end{vmatrix} \right |=\left | -17 \right |=17$$ bulunur.