Elipsin birbirini $\alpha$ ölçüyle kesen teğetlerinin genel denklemi $y=mx+n$ ve bu teğetlerin kesim noktası $P(h,k)$ olsun. Noktayı denklemde yerine yazarsak, $n=k-mh$ olur. Böylece doğruların denklemi \[y=mx+k-mh\] olur. Elips ile ona teğet olan doğrunun ortak çözümünden gelen teğetlik şartı formülününün $a^2m^2+b^2-n^2=0$ olduğunu hatırlar ve sorumuzda kullanırsak: \begin{array}{l} \\ & {a^2}{m^2} + {b^2} - {(k - mh)^2} = 0 \\ & \Rightarrow {m^2}({a^2} - {h^2}) + m(2kh) + {b^2} - {k^2} = 0 \end{array} $m$ ye bağlı ikinci derece denklemi elde ederiz. Elipsin teğetleri arasındaki açının ölçüsü $\alpha$ olduğuna göre, iki doğru arasındaki açıya dair \[\tan \alpha  = \left| {\dfrac{{{m_1} - {m_2}}}{{1 + {m_1}{m_2}}}} \right|\] formülü kullanabiliriz. Elde ettiğimiz $m$ ye bağlı ikinci derece denklemin kökleri arasında \[{m_1}{m_2} = \frac{{{b^2} - {k^2}}}{{{a^2} - {h^2}}} \quad {m_1} - {m_2} = \frac{{\sqrt \Delta  }}{{\left| a \right|}} = \frac{{2\sqrt {{h^2}{k^2} - ({a^2} - {h^2})({b^2} - {k^2})} }}{{\left| {{a^2} - {h^2}} \right|}}\] eşitliklerini yerine yazarsak \[\tan \alpha  = \left| {\frac{{\frac{{2\sqrt {{h^2}{k^2} - ({a^2} - {h^2})({b^2} - {k^2})} }}{{\left| {{a^2} - {h^2}} \right|}}}}{{1 + \frac{{{b^2} - {k^2}}}{{{a^2} - {h^2}}}}}} \right| = 2\frac{{\sqrt {{h^2}{k^2} - ({a^2} - {h^2})({b^2} - {k^2})} }}{{\left| {{a^2} + {b^2} - {h^2} - {k^2}} \right|}}\] elde edilir. Böylece \[\frac{{\tan \alpha }}{2} = \frac{{\sqrt {{h^2}{k^2} - ({a^2} - {h^2})({b^2} - {k^2})} }}{{\left| {{a^2} + {b^2} - {h^2} - {k^2}} \right|}}\] elde edilir. Seçtiğimiz kesim noktası $P(h,k)$ geometrik yeri ifade ettiğinden, $h=x$ ve $k=y$ yerine yazılırsa \[\frac{{\tan \alpha }}{2} = \frac{{\sqrt {{x^2}{y^2} - ({x^2} - {a^2})({y^2} - {b^2})} }}{{\left| {{a^2} + {b^2} - {x^2} - {y^2}} \right|}}\] denklemiyle istenilen geometrik yer elde edilmiş olur. Eşitlikte mutlak değer yer almasının temel nedeni doğrular arasındaki açının dar veya geniş olmasından kaynaklıdır. 

Belirli integralin sınır değerlerini yerine yazmadan önce, mevcut integrale belirsiz biçimde yaklaşarak kuralı elde edelim (+c sabitleri ihmal edilmiştir). Öncelikle, \[g(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f(x)}}{{x - k}}}  = f(x) \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} + ... + \frac{1}{{x - n}}} \right)\] olacaktır. Bu eşitlikte \[\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} + ... + \frac{1}{{x - n}} = h(x)\] alınırsa, $g(x) = f(x) \cdot h(x)$ dir. Bu durumda, $\displaystyle \int {g(x)dx}  = \int {f(x)h(x)dx} $ olur. Kısmi integral uygulayalım: $f(x) = u$ ve $h(x)dx = dv$ olsun. $f'(x)dx = du$ ve $v = \ln \left( {\left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)...\left( {x - n} \right)} \right) = {\mathop{\rm lnf}\nolimits} (x)$ olur. Böylece, \[\int {f(x)h(x)dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - \int {\ln \left( {f(x)} \right)f'(x)dx} \] olur. Sağ tarafta kalan integralde tekrar kısmi integral alalım. $\ln f(x) = u$ ve $f'(x)dx = dv$ olursa; $\dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx = du$ ve $f(x) = v$ olur. Yerine yazılırsa, \[\int {\ln \left( {f(x)} \right)f'(x)dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - \int {f(x)\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - f(x)\] elde edilir. Böylece, \[\int {f(x)h(x)dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - \left( {f(x) \cdot \ln f(x) - f(x)} \right) = f(x)\] bulunur. O halde, \[\int\limits_0^{n + 1} {g(x)dx}  = \left. {f(x)} \right|_0^{n + 1} = f(n + 1) - f(0)\] olur. $n$ nin çift olması durumunda \[f(n + 1) = f(0) = n!\] olacağından \[\int\limits_0^{n + 1} {g(x)dx}  = 0\] olur. $n$ nin tek olması durumunda ise, \[f(n + 1) = n!\ \quad \quad f(0) =  - n!\] olacağından \[\int\limits_0^{n + 1} {g(x)dx}  = 2n!\] bulunur. (Soruda $f$ fonksiyonunun türevinin bir başka biçiminin $g$ fonksiyonunun en sade hali olduğu anlaşılmaktadır. Sorunun kurgusunuda bu gerçek üzerine yapmıştım.)

Üçgenin köşelerine \(A({x_1},{y_1})\), \(B({x_2},{y_2})\) ve \(C({x_3},{y_3})\) diyelim. Elipsin parametrik denkleminden faydalanırsak, \(0 \le \alpha ,\theta ,\beta  < 2\pi \) için \[\begin{array}{l} {x_1} = a\cos \alpha \\ {y_1} = b\sin \alpha \end{array} \quad \begin{array}{l} {x_2} = a\cos \theta \\ {y_2} = b\sin \theta \end{array} \quad \begin{array}{l} {x_3} = a\cos \beta \\ {y_3} = b\sin \beta \end{array} \] olur. \(ABC\) üçgeninin alanı için \[\overrightarrow {AB}  = (a(\cos \theta  - \cos \alpha ),b(\sin \theta  - \sin \alpha ))\] ve \[\overrightarrow {AC}  = (a(\cos \beta  - \cos \alpha ),b(sin\beta  - sin\alpha ))\] vektörlerini kullanabiliriz. 

 O halde, 

\[|ABC| = \frac{1}{2} \cdot \left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a(\cos \theta - \cos \alpha )}&{b(\sin \theta - sin\alpha )}\\
{a(\cos \beta - \cos \alpha )}&{b(\sin \beta - \sin \alpha )}
\end{array}} \right|} \right|\] olur. Bu denklem düzenlenirse, \[|ABC| = \frac{{ab \cdot \left| {\sin (\beta  - \theta ) + \sin (\theta  - \alpha ) + \sin (\alpha  - \beta )} \right|}}{2}\] elde edilir. \(\beta  - \theta  = u\), \(\theta  - \alpha  = v\) ve \(\alpha  - \beta  = w\) değişikliği yaparsak ve \(u + v + w = 0\) olduğunu görürsek, \[|ABC| = \frac{{ab \cdot \left| {\sin u + \sin v - \sin (u + v)} \right|}}{2}\] olur. (Bu değişiklikte \( - 2\pi  < u,v,w < 2\pi \) olacağına dikkat ediniz). Bu durumda üçgenin alanı \[F(u,v) = \sin u + \sin v - \sin (u + v)\] fonksiyonuna bağlı olur. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için \[{F_u}(u,v) = \cos u - \cos (u + v) = 0 \quad {F_v}(u,v) = \cos v - \cos (u + v) = 0\] denklemleri ortak çözülürse, \(\cos u = \cos v\) yani \(u=v\) veya \(u=-v\) olmalıdır. Eğer \(u=-v\) olursa, \({F_u}(u,v) = \cos u - \cos (u - u) = 0\) olacağından \(u=0=v\) olur. Eğer \(u=v\) olursa, \({F_u}(u,v) = \cos u - \cos (2u) = 0\) olacağından \(u = v = \dfrac{{2\pi }}{3}\), \(u = v = \dfrac{{4\pi }}{3}\) ve \(u=v=0\) elde edilir. \(F(0,0) = 0\) olduğundan üçgenin alanı 0 olmak zorunda kalır. Diğer noktalar için çift değişkenli fonksiyonlarda ekstremum değerler için varolan teoremi* kullanmamız gerekiyor. Ekstremum testi için, \({F_{uu}}(u,v) =  - \sin u + \sin (u + v)\), \({F_{vv}}(u,v) =  - \sin v + \sin (u + v)\) ve \({F_{uv}}(u,v) =  \sin (u + v)\) değerlerinde \(\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) ve \(\left( {\dfrac{{4\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\) noktalarını araştırmamız gerekiyor. \[{F_{uu}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \sqrt 3 \] \[{F_{vv}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \sqrt 3 \] \[{F_{uv}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] olur. Burada \({F_{uu}} < 0\) ve \({F_{uu}} \cdot {F_{vv}} - {F_{uv}}^2 = 3 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4} > 0\) olduğundan teorem* gereği bu nokta bir maksimum noktadır. Benzer biçimde \(\left( {\dfrac{{4\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\) noktası da minimum nokta olacaktır. O halde fonksiyon maksimum değerini \(u = v = \dfrac{{2\pi }}{3}\) için alır. \[F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3},\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\] olur. Böylece üçgenin alanının maksimum değeri, \(|ABC| = \dfrac{{3\sqrt 3 ab}}{4}\) bulunur. ( Dikkat edilirse, alandaki mutlak değerden dolayı \(\left( {\dfrac{{4\pi }}{3},\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\) değerleri içinde alan aynı çıkacaktır.)

Aşağıdaki şekilde \(\alpha\) açısını değiştirerek üçgeni hareket ettirebilirsiniz.