Düzlemde verilen \(\overrightarrow{v_1}=(a,b)\) ve \(\overrightarrow{v_2}=(c,d)\) vektörlerinin lineer bağımlı olması için yeter ve gerek şartın
$$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=0$$
olduğunu veya daha özel bir biçimde
$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$
olduğunu hatırlayalım.
Benzer biçimde uzayda verilen \(\overrightarrow{v_1}=(a,b,c)\) ve \(\overrightarrow{v_2}=(d,e,f)\) vektörlerinin lineer bağımlı olması
$$\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$$
oranına bağlıdır.
Verilen \(\overrightarrow{v_1}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{v_2}=(x_2,y_2,z_3)\) ve \(\overrightarrow{v_3}=(x_3,y_3,z_3)\) vektörlerinin lineer bağımlı olması ise
$$\begin{vmatrix}x_1 &y_1 &z_1 \\ x_2 &y_2 &z_2 \\ x_3 &y_3 &z_3 \end{vmatrix}=0$$
eşitliğine bağlıdır. Bu eşitlik sağlanmıyorsa vektörler lineer bağımsızdır.
Örnek 1
Uzayda verilen \(\overrightarrow{v}=(4,k,m)\) ve \(\overrightarrow{w}=(k,9,m+1)\) vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre k ve m değerlerini bulalım:
Çözüm
Tek yapmamız gereken
$$\frac{4}{k}=\frac{k}{9}=\frac{m}{m+1}$$
oranından \(k\) ve \(m\) değerlerini bulmaktır. İlk iki orandan \(k^2=36\Rightarrow k=6\) veya \(k=-6\) bulunur. \(k=6\) için \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{m}{m+1}\Rightarrow m=2\) ve \(k=-6\) için \(\dfrac{4}{-6}=\dfrac{m}{m+1}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{5}\) bulunur.
Örnek 2
Uzayda verilen \(\overrightarrow{v}=(2,1,-4)\), \(\overrightarrow{u}=(1,0,-1)\) ve \(\overrightarrow{w}=(x,4,1)\) vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre \(x\) değerini bulalım:
Çözüm
$$\begin{vmatrix}2 &1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ x &4 &1 \end{vmatrix}=0$$
olmalıdır. Bu determinant tabii ki Sarrus kuralı ile de hesaplanabilir fakat ben 1.sütunu 3.sütuna ekleyip 2.satıra göre eşçarpan yöntemiyle çözmek istiyorum:
$$\begin{vmatrix}2 &1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ x &4 &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 &1 &-2 \\ 1 &0 &0 \\ x &4 &x+1 \end{vmatrix}=1.(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1 &-2 \\ 4&x+1 \end{vmatrix}=-x-9$$
O halde \(-x-9=0\Rightarrow x=-9\) bulunur.
Soru 1
Uzayda verilen \(\overrightarrow{v}=(2,x,y)\), \(\overrightarrow{u}=(x,-y,0)\) ve \(\overrightarrow{w}=(y,2,x)\) ikişer ikişer lineer bağımsız fakat üçlü olarak lineer bağımlı olduğuna göre \(x\) hangi reel değeri alamaz?
Çözüm 1
O halde sadece \(\overrightarrow{v}\) ile \(\overrightarrow{w}\) arasındaki orana bakmalıyız.
\(\dfrac{2}{x}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{y}{x}\) ifadesinde bulduğumuz \(y=x\) eşitliğini yerine yazalım. \(\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{x}=1\Rightarrow x=2\) olursa \(\overrightarrow{v}\) ile \(\overrightarrow{w}\) lineer bağımlı olacaktır.
Demek ki \(x\neq 2\) dir.
Dik koordinat sisteminde aşağıdaki noktaların gösterimlerini inceleyiniz!
Uzayda bir \(O\) noktası ve bu noktada birbirine dik \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) ve \(\overrightarrow{w}\) vektörleri verilsin. Bu vektörleri taşıyan doğrular \(d_1,d_2\) ve \(d_3\) olsun. Bu durumda \(\left \{ A,\overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{w} \right \}\) dörtlüsüne uzayın dik koordinat sistemi, O noktasına bu sistemin orijini, \(\small d_1,d_2\) ve \(d_3\) doğrularına ise koordinat sisteminin eksenleri denir. Bundan sonra bu doğrulara \(x,y\) ve \(z\) eksenleri ve bu sisteme de \(XYZ\) koordinat sistemi diyeceğiz. Aşağıdaki şekli detaylı biçimde inceleyebilirsiniz.
Dik koordinat sistemini oluştururken kullandığımız birbirine dik \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) ve \(\overrightarrow{w}\) vektörleri yerine yine birbirine dik birim vektörler kullanalım ve bu vektörleri \(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\) ve \(\overrightarrow{e_3}\) veya \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\) ve \(\overrightarrow{k}\) olarak adlandıralım. Elde edilen \(XYZ\) koordinat sisteminde herhangi bir \(P\) noktası alalım. Düzlemde herhangi bir noktanın iki koordinatı varken, uzayda üç koordinatı olacaktır. \(x(P), y(P)\) ve \(z(P)\) sırasıyla \(P\) noktasının \(x, y\) ve \(z\) koordinatları belirtir.
Bu durumda
$$\overrightarrow{OP}=x(P)\overrightarrow{e_1}+y(P)\overrightarrow{e_2}+z(P)\overrightarrow{e_3}\Leftrightarrow P(x,y,z)$$
olur. Matematikte bir kavramın sembollerle ifadesine genel olarak notasyon denir. Burda kullandığımız bu notasyon MEB in öngördüğü bir notasyon olduğu için verilmektedir. Daha basit anlatımla \(P(x,y,z)\) için
$$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$$
olur.
Dik koordinat sistemi uzayı \(xy,xz\) ve \(yz\) düzlemleriyle 8 bölgeye ayırır. Her hangi bir nokta aşağıdaki gibi gösterilir.