Soru 1
 |
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında \(|AE|=3\) birim, \(|AB|=5\) birim ve \(|BC|=2\) birim olduğuna göre \(<\overrightarrow{DF},\overrightarrow{BE}>\) iç çarpımının değeri kaçtır? |
Çözüm 1
Bu tür sorularda verilen vektörlerin başlangıç noktalarını sisteminin başlangıç noktası olacak biçimde ayrı ayrı \(XYZ\) dik koordinat sistemleri oluşturulur.
O halde $$<\overrightarrow{DF},\overrightarrow{BE}>=2.0+5.(-5)+3.3=-16$$ bulunur.
Soru 2
 |
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında \(|AE|=2\) birim, \(|AB|=3\) birim ve \(|BC|=4\) birim olduğuna göre \(<\overrightarrow{EC},\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{DA}>\) iç çarpımının değeri kaçtır? |
Çözüm 2
\(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{FE}\) olacağından şekildeki gibi başlangıç noktası \(F\) olan dik koordinat sistemi kurulur.
O halde $$<\overrightarrow{EC},\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{DA}>=<\overrightarrow{EC},\overrightarrow{FE}>=(-4).0+3.(-3)+(-2).0=-9$$ bulunur.
Soru 3
 |
Şekildeki dikdörtgenler prizmasında \(|HK|=2|KG|\), \(|BN|=|NC|\), \(|AB|=|AE|=6\) birim ve \(|BC|=4\) birim olduğuna göre \(<\overrightarrow{EN},\overrightarrow{AK}>\) iç çarpımının değeri kaçtır |
Çözüm 3
O halde $$<\overrightarrow{EN},\overrightarrow{AK}>=(-2).(-4)+6.4+(-6).6=-4$$ bulunur.
Soru 1
\(R^3\) de \(\overrightarrow{v}=(2,-3,4)\) ve \(\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\) olduğuna göre \(<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>-<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 1
\(<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>=-<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>\) ve \(<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>=2<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>+2<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>\) olduğundan
$$<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>-<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>=-3<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>-2<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>$$ olur.
\(<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>=2^2+(-3)^{2}+4^2=29\) ve \(<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_1}>=2.1+(-3).0+4.0=2\) olduğundan
\(<\overrightarrow{v},-\overrightarrow{v}>-<2\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}+\overrightarrow{e_1}>=-3.29-2.2=-91\) bulunur.
Soru 2
\(R^3\) de \(||\overrightarrow{v}||=\sqrt{3}\) olduğuna göre \(<3\overrightarrow{v},-2\overrightarrow{v}>\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 2
\(<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>=||\overrightarrow{v}||^2\) olduğunu hatırlayalım. Ayrıca iç çarpımda vektörlerin skaler çarpanlarını dışarı alabildiğimizi de hatırlarsak \(<3\overrightarrow{v},-2\overrightarrow{v}>=3.(-2)<\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}>\) olacaktır. O halde
$$<3\overrightarrow{v},-2\overrightarrow{v}>=-6||\overrightarrow{v}||^2=-6.3=-18$$ olur.
Soru 3
\(R^3\) de \(||\overrightarrow{a}||=4\), \(||\overrightarrow{b}||=6\) ve \(||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||=5\) olduğuna göre \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 3
Bir önceki derste çıkardığımız önemli sonucu hatırlayalım: $$||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||^2=||\overrightarrow{a}||^2+2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ Verilenleri yerine yazarsak $$5^2=4^2+2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+6^2 \Rightarrow <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=-\dfrac{27}{2}$$ bulunur.
Soru 4
\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3}\), \(||\overrightarrow{b}||=4\) ve \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=6\) olduğuna göre \(||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm 4
Bir önceki önceki soruda olduğu gibi: $$||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||^2=||\overrightarrow{a}||^2-2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ olacaktır. Temel birim vektörlerin lineer bileşimi biçiminde verilen \(\overrightarrow{a}=(2,-3,1)\) olacağından \(||\overrightarrow{a}||^2=2^2+(-3)^{2}+1^2=14\) bulunur. Verilenleri yerine yazarsak $$||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||^2=14-2.6+16=18\Rightarrow ||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||=3\sqrt{2}$$ bulunur.
Soru 5
\(R^3\) de \(<\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}>=10\), \(||\overrightarrow{a}||=4\) ve \(||\overrightarrow{b}||=2\) olduğuna göre \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) iç çarpımının değeri kaçtır?
Çözüm 5
Verilen iç çarpımda dağılma özelliğini kullanırsak: $$<\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}||^2+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>-2||\overrightarrow{b}||^2$$ olacaktır. Verilenleri bu eşitlikte yerine yazalım $$10=4^2+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>-2.2^2$$ olacağından $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=2$$ bulunur.
Şekilli sorular için sağdaki menüden Sorular 2 bölümüne bakın...
Bu bölümde yer alan Geogebra uygulamaları Java Applet uygulaması çalıştırır. Zaman zaman yavaş açılabilirler. Lütfen sabırlı olun!