• Birinci soru,

1.Çözüm

$$A = \int\limits_{ - \pi /4}^{3\pi /4} {\left( {{{\cos }^2}(\sin x) + {{\sin }^2}(\cos x)} \right)dx} $$ olsun. $u = \dfrac{\pi }{2} - x$ dönüşümü yapılırsa, $$A = \int\limits_{ - \pi /4}^{3\pi /4} {\left( {{{\cos }^2}(\cos u) + {{\sin }^2}(\sin u)} \right)du} $$ elde edilir. Bu iki integral toplanır ve ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ özdeşliği göz önüne alınırsa, $$2A = \int\limits_{ - \pi /4}^{3\pi /4} {2dx}  = 2\pi $$ olur. O halde, $$A = \pi $$ olur.

2.Çözüm

Öncelikle $${\sin ^2}a - {\sin ^2}b = \sin \left( {a - b} \right)\sin \left( {a + b} \right)$$ $$\cos x - \sin x =  - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$$ $$\cos x + \sin x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$$ özdeşliklerini kullanacağız. Böylece, $$\begin{align*} {\cos ^2}\left( {\sin x} \right) + {\sin ^2}\left( {\cos x} \right) & = 1 - {\sin ^2}\left( {\sin x} \right) + {\sin ^2}\left( {\cos x} \right) \\  & = 1 - \sin \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin \left( {\cos x + \sin x} \right) \\  & = 1 + \sin \left( {\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)\sin \left( {\sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right) \end{align*}$$ olur.

$u = x - \dfrac{\pi }{4}$ dönülümü uygulanırsa,

$$\begin{align*} \int\limits_{ - \pi /4}^{3\pi /4} {\left( {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right) + {{\sin }^2}\cos x} \right)dx} & = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\left( {1 + \underbrace {\sin \left( {\sqrt 2 \sin u} \right)\sin \left( {\sqrt 2 \cos u} \right)}_{tek\,\,fonksiyondur}} \right)du} \\  & = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {1du} \\  & = \pi \end{align*}$$ elde edilir.

• İkinci soru,

1.Çözüm: (Hasan BOSTANLIK)

$$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}  = \int {\underbrace {\frac{x}{{\cos x}}}_u\underbrace {\frac{{x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}_{dv}} $$ olsun. Bu durumda, $v =  - \dfrac{1}{{x\sin x + \cos x}}$ ve $du = \dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{{\cos }^2}x}}dx$ olacaktır. Kısmi integral alınırsa, $$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}  =  - \frac{x}{{\cos x\left( {x\sin x + \cos x} \right)}} + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} $$ $$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}  =  - \frac{x}{{\cos x\left( {x\sin x + \cos x} \right)}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + C$$ olur. Sağ tarafta payda eşitlenir ve pay kısmı x parantezine alınırsa, $$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}  = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{x\cos x + \sin x}} + C$$ sonucuna ulaşılır.

2.Çözüm

Öncelikle, $$d\left( {\frac{u}{v}} \right) = d\left( {u.\frac{1}{v}} \right) = \frac{1}{v}du - \frac{u}{{{v^2}}}dv$$ olacağından, $$\int {\frac{1}{v}du}  = \frac{u}{v} + \int {\frac{u}{{{v^2}}}dv} $$ kısmi integral yapısını $\int {\dfrac{{x\sin x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} $ integralinde kullanalım.

$$\int {\underbrace {\frac{1}{{x\sin x + \cos x}}}_{1/v}\underbrace {x\sin xdx}_{du}}  = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} + \int {\frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx} $$ olur. Böylece, $$ \int {\frac{{x\sin x}}{{x\sin x + \cos x}}dx}  - \int {\frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}  = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} + C$$ elde edilir. Sol tarafta yer alan iki integral tek integral içinde işleme alınırsa, $$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx}  = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} + C$$ sonucuna ulaşılır.