Soru: $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $1 \le a \le b \le n$ ve $OBEB(a, b) = 1$ koşullarını sağlayan $a$ ve $b$ tam sayıları için tüm rasyonellerini küçükten büyüğe doğru sıraladığımızı varsayalım.
Eğer, bu sıralama içinde $\dfrac{a}{b}$ ve $\dfrac{c}{d}$ ardışık iki sayı ise, $bc - ad = 1$ olduğunu kanıtlayınız.
Kanıt:
Tümevarımla kanıt yapacağız.
$n = 2$ için, $\dfrac{1}{2}$ , $1$, $2$ elde ederiz. Bu sıralamada verilenin doğru olduğu açıktır.
$n = k$ için elde edilen sıralama kümesi $\left\{ { \cdots ,\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}, \cdots } \right\}$ ve $bc - ad = 1$ olsun.
Eğer $b + d \ge n + 1$ ise, $n = k + 1$ için elde edilen kümenin içinde $\dfrac{a}{b}$ ile $\dfrac{c}{d}$ arasında $\dfrac{{a + c}}{{b + d}}$ terimi yer alacaktır. Yani, küme $\left\{ { \cdots ,\dfrac{a}{b},\dfrac{{a + c}}{{b + d}},\dfrac{c}{d}, \cdots } \right\}$ biçiminde olacak ve $$b\left( {a + c} \right) - a\left( {b + d} \right) = ba + bc - ab - ad = bc - ad = 1$$ olur.
Eğer $b + d < n + 1$ ise, $n = k +1$ için elde edilen kümenin içinde $\dfrac{a}{b}$ ile $\dfrac{c}{d}$ arasında bir terim yer almayacaktır. Böylece, $bc - ad = 1$ olacaktır.
O halde, $n = k + 1$ için de eşitlik geçerlidir. Böylece ispatı tamamlamış oluruz.

9.soru:
İfade \(2^2\) parantezine alınırsa, \[{2^2}\left( {1 + 8 + {2^{n - 2}}} \right)\] elde edilir. Dikkat edilirse, \(2^2\) tam kare olduğundan, \[{1 + 8 + {2^{n - 2}}}\] ifadesinin tam kare olması yeterlidir. O halde, bir A tam sayısı için, \[9 + {2^{n - 2}} = {A^2}\] yazılabilir. Buradan, \[{2^{n - 2}} = \left( {A - 3} \right)\left( {A + 3} \right)\] olur. bir \(k\) doğal sayısı için, \(A - 3 = {2^k}\) ve \(A + 3 = {2^{n-k-2}}\) alınabilir. Bu halde, \[{2^k} + 3 = {2^{n - k - 2}} - 3 \Rightarrow {2^{n - k - 2}} - {2^k} = 6\] olur. Sol tarafı \(2^k\) parantezine alırsak, \[{2^k}\left( {{2^{n - 2k - 2}} - 1} \right) = 6\] \[{2^{k - 1}}\left( {{2^{n - 2k - 2}} - 1} \right) = 3\] olur. Bu eşitliğin sağlanması için, \({2^{k - 1}}=1\) ve \({{2^{n - 2k - 2}} - 1}=3\) olması gerektiği açıktır. Böylece, \(k=1\) ve \(n=6\) bulunur. Yani, verilen ifadeyi tam kare yapan tek \(n\) pozitif tam sayısı 6 dır.

8.soru:
Euclides Algoritması ile \[GCD\left( {9n + 5,10n + 3} \right) = GCD\left( {23,n - 2} \right)\] bulunur (burada \(GCD\left( {a,b} \right) = GCD\left( {a,a - b} \right)\) yapısı birden çok kullanıldı). Böylece, en büyük ortak bölen en fazla \(23\) olabilir. Örneğin, \(n =25\) alınırsa, kesir \[\frac{{230}}{{253}} = \frac{{23.10}}{{23.11}} = \frac{{10}}{{11}}\] olacağından verilen kesir en sade biçimde değildir.

6. Soru:
$$2016 = 2^3.257$$ olduğundan 2016 bir tam sayının kuvvetine eşit değildir. Bu durumda, \(x\) ve \(y\) pozitif tam sayıları için, \(x^y = 2016^{2016}\) ifadesinde, \(2016\) nın pozitif bölen sayısı kadar \((x,y)\) ikilisi vardır. Örneğin, \[{2016^{2016}} = {\left( {{{2016}^2}} \right)^{1008}}\] olduğundan, \( x=2016^2\) ve \(y=1008\) olur. Benzer biçimde diğerleri,
\({\left( {{{2016}^4}} \right)^{504}}\), \({\left( {{{2016}^8}} \right)^{257}}\), \({\left( {{{2016}^{257}}} \right)^8}\), \({\left( {{{2016}^{504}}} \right)^4}\), \[{\left( {{{2016}^{1008}}} \right)^2}\], \({\left( {{{2016}^{2016}}} \right)^1}\) ve \({\left( {2016} \right)^{2016}}\) olur.
Aslında pozitif bölen sayısını bulmak için, asal kuvvetlerin \(1\) er fazlasını çarpabilirdik, yani \((3+1)(1+1)=8\) ile kısaca bulunabilir.