(a+b)^3
\((a+b)^3\) açılımı üzerine bir çalışma...
- Öncelikle bu prizmaların hacimlerini ayrı ayrı \(a\) ve \(b\) türünden bulunuz.
- Prizmaları sağa/sola/yukarı/aşağı hareket ettirerek bir araya getiriniz.
- Elde edeceğiniz prizmanın hacmini hesaplayınız.
Mavi prizmalarının her birinin hacmi \(ab^2\), yeşil prizmaların her birinin hacmi \(a^2b\), pembe küpün hacmi \(b^3\) ve turuncu küpün hacmi de \(a^3\) olacağından toplam hacim $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ olur.
Prizmalar bir araya getirilince oluşan küpün bir ayrıtı \(a+b\) olacağından hacmi \((a+b)^3\) olur. O halde $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ olur.
Bu çalışma fikrini bana veren değerli meslektaşım canım arkadaşım ve büyüğüm Barbaros Gür'e teşekkür ediyorum.
Akıllı Öğrenci
Ben biliyorum! \(x^0=x^{1-1}=x^1x^{-1}=\dfrac{x}{x}=1\). O halde \(x=0\) alırsak \(0^0=1\) olur.
Daha akıllı Öğrenci
Hayır hatalısın! \(x=0\) için son adımda \(\dfrac{x}{x}=\dfrac{0}{0}\) olur. Şöyle olması gerekir:\(0^x=0^{1+x-1}=0^{1}0^{x-1}=0.0^{x-1}=0\) olur. O halde \(0^{0}=0\) dır.
En akıllı öğrenci
Bu da hatalı! Çünkü eğer \(x=0\) olursa \(0^{x-1}=0^{-1}=\dfrac{1}{0}\) olur. Yani 0 ile olmaması gereken bir bölme söz konusudur. \(x\rightarrow 0^{+}\) için \(x^x\) fonksiyonunu inceleyelim:
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^x=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}e^{ln(x^x)}\\=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}e^{xln(x)}\\=e^{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{xln(x)}}\\=e^{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{\dfrac{lnx}{x^{-1}}}}\\=e^{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{\dfrac{x^{-1}}{-x^{-2}}}} (L'hospital)\\=e^{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}-x}\\=e^{0}=1\) O halde \(0^0=1\) dir.
Lise öğretmeni
\(x\) in pozitif değerleri 0 a yaklaşırken \(x^x\) fonksiyonunun 1 e yakınsaması \(0^0\) ın 1 olduğunu ispatlamaz. \(0\) a yakın değerlerle, tam olarak \(0\) değeri arasında fark vardır. \(0^0\) tanımsızdır. Bir değeri yoktur.
Calculus öğretmeni
Her \(x>0\) için \(0^x=0\) dır. Dolayısıyla \(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}0^x=0\) olur. Yani \(x\), \(0\) a pozitif değerlerle yaklaştıkça \(0^x\) in değeri 0 dır. Öte yandan \(y\neq 0\) olmak üzere \(y\) reel sayıları için \(y^0=1\) dir. O halde \(\lim_{y\rightarrow 0}y^0=1\) dir. Yani \(y\) sayısı \(0\) a yaklaştıkça \(y^0\) da 1 e yaklaşmaktadır. Böylece \(f(x,y)=y^x\) fonksiyonunun \((x,y)=(0,0)\) noktasında süreksizliğinin olduğunu göstermiş olduk. Çünkü \((0,0)\) noktasına \(x=0\) doğrusu boyunca yaklaşırsak \(\lim_{y\rightarrow 0}f(0,y)=1\) ve \(y=0\) doğrusu boyunca \(x>0\) değerleri ile yaklaşırsak \(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x,0)=0\) olmaktadır. Yani \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}y^x\) değeri hangi yönden yaklaştığımıza bağlı olarak değişmektedir. Bu nedenle \(y^x\) fonksiyonunu \((0,0)\) noktasında sürekli yapmak için \(0^0\) ı tanımlayamayız.
Matematikçi
\(0^0=1\) dir.
Matematikçiler öyle diyor. Çünkü böyle kabul etmek kullanışlı oluyor. Bazı formüller
\(0^0=0\) veya \(0^0\) tanımsızdır kabulleriyle daha az zarif oluyor.
Örneğin binom teoremini ele alalım:
\((a+b)^x=\sum_{k=0 }^{\infty}\binom{x}{k}a^kb^{x-k}\) formülünde \(a=0\) ve \(b\neq 0\) alınırsa
\((0+b)^x=\sum_{k=0 }^{\infty}\binom{x}{k}0^kb^{x-k}\\=\binom{x}{0}0^0b^x+\binom{x}{1}0^1b^{x-1}+\binom{x}{2}0^2b^{x-2}+...\\=\binom{x}{0}0^0b^x\\=0^0b^x\)
Eşitliği elde ederken \(k>0\) için \(0^k=0\) ve \(\binom{x}{0}=1\) aldığımıza dikkat edin. Elde edilen \(b^x=0^0b^x\) eşitliğinin sağlanabilmesi için \(0^0=1\) olmalıdır. Akis halde \(a=0\) için teorem geçerli değildir. Eğer matematikçi \(0^0=0\) veya \(0^0\) tanımsızdır deseydi teorem bu durum dışında geçerli olmaya devam edecekti. Fakat \(0^0\) durumu için teorem de zarif olmayan bazı ayarlamalar yapmak gerekirdi. Bu örnek dışında da bazı örnekler mevcuttur.
Bu tercih matematikçilere göre "doğru" değil "güzel"dir.
Kaynak: www.askamathematician.com