Aşağıdaki videoda tabanı kare olan bir eğik prizmanın açınımı gösterilmektedir. Birçok kaynakta (MEB onaylı kitaplarda dahi) düzgün eğik prizmaların yanal yüzeyinin açınımı paralelkenar olarak verilmektedir. Video izlediğiniz zaman bunun doğru olmadığı görülmektedir.
O halde aykırı iki doğru arasındaki en kısa uzaklık $$|AH|=\dfrac{\left |<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}> \right |}{||\overrightarrow{N}||}=\dfrac{\left |<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}> \right |}{||\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}||}$$ olur.
Şeklin Cabri versiyonu için tıklayın!
Örnek 1
\({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2}=y + 1=- z\) ve \({d_2}:\dfrac{{x + 1}}{3}=- y=\dfrac{{z - 1}}{2}\) doğruları arasındaki en kısa mesafe kaç birimdir?
Çözüm
\(d_1\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(A(1,-1,0)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_1}} = (2,1, - 1)\); \(d_2\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(B(-1,0,1)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_2}} = (3, - 1,2)\) dir. Bu durumda \(\overrightarrow {AB} = ( - 2,1,1)\) olacaktır. Bu üç vektörün belirttiği determinantın değeri \(0\) dan farklı olduğundan lineer bağımsızdırlar. Bu nedenle doğrular aykırı doğrulardır (Bir önceki derste bu konu işlendi). Öncelikle \[\overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{e_1}} }&{\overrightarrow {{e_2}} }&{\overrightarrow {{e_3}} }\\2&1&{ - 1}\\3&{ - 1}&2\end{array}} \right| = (1, - 7, - 5)\] dir. O halde iki doğru arasındaki en kısa uzaklık \[\begin{array}{l}d({d_1},{d_2}) = \dfrac{{| < \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} > |}}{{||\overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} ||}}\\\\ = \dfrac{{| - 2.1 + 1.( - 7) + 1.( - 5)|}}{{\sqrt {{1^2} + {7^2} + {5^2}} }}\\ = \dfrac{{14}}{{5\sqrt 3 }}\end{array}\] bulunur.
Örnek 2
\({d_1}:x + 2y = 2;\;z = 0\) ve \({d_2}:x = 2z;\;y = 0\) doğrularının birbirine en yakın olan noktalarını bulunuz.
Çözüm
\(d_1\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(A(0,1,0)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_1}} = (-2,1,0)\);
\(d_2\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(B(0,0,0)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_2}} = (2,0,1)\) dir.
Ayrıca \(\overrightarrow {AB} = (0, - 1,0)\) ve \(\overrightarrow N = \overrightarrow {{u_1}} \times \overrightarrow {{u_2}} = (1,2, - 2)\) dir. Konu anlatımında olduğu gibi \(d_1\) doğrusunun \(d_2\) doğrusuna en yakın noktası \(C\) ve \(d_2\) doğrusunun \(d_1\) doğrusuna en yakın noktası \(D\) olsun. İki vektöre daha ihtiyacımız var: \[\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_1}} = (2,4,5)\] ve \[\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_2}} = (2, - 5, - 4)\] olur.
O halde bir \(k\in R\) için \[\begin{array}{l} < \overrightarrow {AB} - k\overrightarrow {{u_1}}\; ,\;\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_2}} > = 0\\ \Rightarrow k = - \dfrac{5}{9}\end{array}\] bulunur. Böylece \[C = A + k\overrightarrow {{u_1}} = (0,1,0) - \dfrac{5}{9}( - 2,1,0) = \left( {\dfrac{{10}}{9},\dfrac{4}{9},0} \right)\] olur.
Benzer biçimde bir \(m\in R\) için \[\begin{array}{l} < \overrightarrow {BA} - m\overrightarrow {{u_2}}\; ,\;\overrightarrow N \times \overrightarrow {{u_1}} > = 0\\ \Rightarrow m = \dfrac{4}{9}\end{array}\] bulunur. Böylece \[D = B + m\overrightarrow {{u_2}} = (0,0,0) + \dfrac{4}{9}( 2,0,1) = \left( {\dfrac{{8}}{9},0,\dfrac{4}{9},} \right)\] olur.
- tek bir noktada kesişebilirler
- paralel olabilirler
- eş olabilirler (çakışma)
- aykırı doğrular olabilirler.
- \(0\) ise doğrular ilk üç durumdan birini sağlar.
- \(0\) değilse doğrular aykırı doğrulardır.
Şimdi vektörlerin lineer bağımlı olduğunu varsayalım ve ilk üç durumu inceleyelim. Aynı düzlemde bulunan farklı doğruların tek bir noktada kesişmesi paralel olmamalarını gerektirir. Bu da doğruların doğrultu vektörlerinin lineer bağımsız olmasını gerektirecektir. O halde verilen iki doğrunun
Eğer bu iki vektör lineer bağımlı ise doğrular ya paraleldir ya da eş doğrulardır.
Doğrular eş doğrular ise
Doğrular paralel ise
Bu durumlar dışında iki doğrunun birbirine dik kabul edilişi doğrultu vektörlerinin birbirine dik olmasına bağlıdır. (Uzayda doğruların birbirine dik olması için kesişmeleri gerekmemektedir. MEB bu şekilde ifade etmiştir.) Aslında kesişmeyen ama doğrultu vektörleri birbirine dik olan doğrulara dik durumlu doğrular denmektedir. Fakat bu detay göz ardı edilmiştir.
Örnek 1
\(d_1:X=(1,1,2)+k(1,0,2)\) ve \(d_2:X=(1,0,1)+m(2,-3,1)\) doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz.
Çözüm
İlk bakışta \(\overrightarrow{u_1}=(1,0,2)\) ve \(\overrightarrow{u_2}=(2,-3,1)\) nün lineer bağımsız olduğu görülmektedir. Yani bu doğrular ya aykırıdır ya da tek bir noktada kesişecektir. Lafı fazla dolandırmadan temel çözüm mantığı olan ortak çözümle işleme başlayalım:$$(1,1,2)+k(1,0,2)=(1,0,1)+m(2,-3,1)$$ eşitliğinden $$\begin{matrix}2m-k=0\\ -3m=1\\ m-2k=1\end{matrix}$$ eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden ikincisinden \(m=-\dfrac{1}{3}\) olur. Bunu birincide yerine yazarsak \(k=-\dfrac{2}{3}\) bulunur. Bu çözümde dikkat edilmesi gereken, ilk iki denklemden bulduğumuz bu değerlerin, üç denklemden oluşan sistemin, her denklemini sağlaması gerektiğidir. Denklemlerin tümü sağlanmıyorsa doğruların ortak bir noktası olmayacaktır. Bulduğumuz \(k\) ve \(m\) değeri üçüncü denklemi de sağladığı için doğrular tek bir noktada kesişmektedir. Şimdi bu noktayı bulalım \(m=-\dfrac{1}{3}\) için ikinci doğru denleminden $$X=(1,0,1)- \dfrac{1}{3}(2,-3,1)=(\dfrac{1}{3},1,\dfrac{2}{3})$$ bulunur. Aşağıdaki videoda durumu inceleyebilirsiniz.
Örnek 2
\(d_1:X=(1,2,3)+k(-1,a,1)\) ve \(d_2:X=(-1,-2,0)+m(0,2,1)\) doğruları tek bir noktada kesiştiğine göre bu noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını bulunuz.
Çözüm
Öncelikle ilk doğrunun geçtiği sabit noktaya \(A(1,2,3)\) ve diğerinin geçtiği sabit noktaya \(B(-1,-2,0)\) diyelim. Böylece \(\overrightarrow{AB}=(-2,-4,-3)\) olur. Ayrıca \(\overrightarrow{u_1}=(-1,a,1)\) ve \(\overrightarrow{u_2}=(0,2,1)\) dir. Doğrular tek bir noktada kesiştiğine göre bu üç vektör lineer bağımlıdır. O halde $$\begin{vmatrix}-2 &-4 &-3 \\ -1 &a &1 \\ 0 &2 &1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow a=3$$ bulunur. Artık bir önceki örnekte olduğu üzere ortak çözüm yapabiliriz. $$\begin{matrix}(1,2,3)+k(-1,3,1)=(-1,-2,0)+m(0,2,1)\\ \Rightarrow k=2\quad \wedge \quad m=5 \end{matrix}$$ bulunur. Herhangi birini yerine yazarsak ortak nokta $$(-1,8,5)$$ bulunur. Orijine olan uzaklığı ise $$\sqrt{1^2+8^2+5^2}=3\sqrt{10}$$ bulunur.
Örnek 3
\(d_1:X=(2,0,1)+k(1,-1,2)\) ve \(d_2:X=(1,-1,3)+m(-1,1,-2)\) doğrularının her ikisine de dik olan ve \((4,-2,5)\) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Doğruların doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{u_1}=(1,-1,2)\) ve \(\overrightarrow{u_2}=(-1,1,-2)\) için \(\overrightarrow{u_1}=-\overrightarrow{u_2}\) olduğundan lineer bağımlıdırlar. Ayrıca doğruların sabit noktaları \(A(2,0,1)\) ve \(B(1,-1,3)\) için \(\overrightarrow{AB}=(-1,-1,2)\) bu vektörlerden herhangi biri ile lineer bağımsızdır. O halde doğrular paraleldir. Aradığımız doğru da bu paralel doğrulara dik olan bir doğrudur. Bu doğrunun doğrultu vektörünü bulmak için ikinci doğru üzerinde (birinci doğru üzerinde de alınabilirdi) \(m\in R\) için öyle bir \(C(1-m,-1+m,3-2m)\) noktası alalım ki $$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{u_1}$$ olsun. Böylece \(\overrightarrow{AC}\) aradığımız doğrunun doğrultu vektörü olur. Şimdi işlem kısmına gelelim $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(-1-m,-1+m,2-2m)$$ dir. Vektörlerin diklik koşulu gereği $$\begin{matrix}<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{u_1}>=0\\\\ \Rightarrow -1-m+1-m+4-4m=0\\\\\Rightarrow m=\dfrac{2}{3}\end{matrix}$$ bulunur. O halde doğrunun doğrultu vektörü $$\overrightarrow{AC}=(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})$$ bulunur. Rasyonel durumdan kurtulmak için \(3\) ile genişletelim ve genel olarak vektöre \(\overrightarrow{u}=(-5,-1,2)\) dersek, istenilen doğrunun denklemi $$X=(4,-2,5)+k(-5,-1,2)$$ bulunur. Aşağıdaki videoda durumu inceleyebilirsiniz.