Soru

$a$,$b$, $c$, $d$ ve $e$ birer reel sayı olmak üzere, $$|a \pm |bx + c|| = dx + e$$  denkleminin olası köklerinin $${x_{1,2}} =  - \frac{{c + e \pm a}}{{b + d}}\quad \quad {x_{3,4}} =  - \frac{{c - e \pm a}}{{b - d}}$$ olduğunu gösteriniz. (Eğer katsayılar birer rasyonel sayı ise, köklerin de rasyonel olduğu görülmektedir.)

Soru

$a<b$ olmak üzere, şekildeki gibi yarıçapları sırasıyla $a$ ve $b$ olan $O_1$ ve $O_2$ merkezli çemberler birbirine dıştan teğettir.

Çemberlerin ortak dış teğeti olan $d$ doğrusu üzerinde bir $A$ noktası alınıp merkezlerle birleştiriliyor. Çizilen doğru parçaları çemberleri şekildeki gibi $B$ ve $C$ noktalarında kesiyor. $$|AB|=|AC|=x$$ olduğuna göre, $$x = \frac{{2ab}}{{a + b + 2\sqrt {2ab} }}$$ olduğunu kanıtlayınız.
Ayrıca ek olarak $AO_{1}O_{2}$ üçgeninin alanının $$|A{O_1}{O_2}| = \frac{{\sqrt 2 ab\left( {a + b + \sqrt {2ab} } \right)}}{{a + b + 2\sqrt {2ab} }}$$ formülü ile bulunabileceğini gösteriniz.

Örnek 1

200 kişinin okuduğu Hacettepe Hukuk öğrencilerinin kümesini $H$ sembolize etsin. Böylece öğrencilerin oluşturduğu bu kümenin eleman sayısı $|H| = 200$ olur. Bu öğrencilerden $95$ tanesi İnsan Hakları Hukuku dersini, $48$ tanesi de Spor Hukuku dersini alıyor olsun. İnsan hakları hukuku dersini alanların oluşturduğu kümeyi $k_1$ ile Spor hukuku dersini alanların oluşturduğu kümeyi de $k_2$ ile gösterelim. Böylece $s\left( {{k_1}} \right) = 95$ ve $s\left( {{k_2}} \right) = 48$ olur. Ayrıca her iki dersi de alan $20$ öğrenci olsun. Bunların oluşturduğu kümeyi de ${k_1}{k_2}$ ile gösterelim. Yani $s\left( {{k_1}{k_2}} \right) = 20$ dir. Bu durumda İnsan hakları hukuku veya spor hukuku dersini alan öğrencilerin oluşturduğu kümenin eleman sayısı $$s\left( {{k_1}{\rm{ veya }}{k_2}} \right) = s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right) - s\left( {{k_1}{k_2}} \right) = 95 + 48 - 20 = 123$$ olur. Ayrıca insan hakları dersini almayanların oluşturduğu kümeyi $\overline {{k_1}}$ ile gösterirsek, $s\left( {\overline {{k_1}} } \right) = 200 - 95 = 105$ ; spor hukuku dersini almayanların oluşturduğu kümeyi de $\overline {{k_2}}$ ile gösterirsek $s\left( {\overline {{k_2}} } \right) = 200 - 48 = 152$ olacaktır. Son olarak her iki dersi de almayanların oluşturduğu kümeyi $\overline {{k_1}} \overline {{k_2}}$ ile gösterirsek, bu kümenin eleman sayısı da $$\begin{array}{l} \\  & s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} } \right) = |H| - s\left( {{k_1}{\rm{ veya }}{k_2}} \right)\\  &  = |H| - \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right)} \right] + s\left( {{k_1}{k_2}} \right)\\  &  = 200 - 123\\  &  = 77 \end{array}$$ olur.

Yazdığımız $s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} } \right) = |H| - \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right)} \right] + s\left( {{k_1}{k_2}} \right)$ eşitliğini biraz daha soyut biçimde yorumlamaya çalışalım. Bu $200$ kişi arasından herhangi biri bu derslerin ikisini de almıyorsa hem $s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} } \right)$ içinde hem de $|H|$  içinde sayılır. Böylece bu kişiler için eşitlik sağlanır, çünkü bu sayımda $1=1$ olacaktır. Öte yandan eğer bu $200$ kişi arasından herhangi biri bu derslerden sadece birini alıyorsa – örneğin insan hakları hukuku dersini – bu durumda eşitliğin solunda sayılmaz, fakat $1$ kez $|H|$ içinde, $1$ kez de $s\left( {{k_1}} \right)$ yer sayılır. Dolayısıyla eşitlik yine sağlanır çünkü $0=1-1$ olur. Son olarak, $200$ kişi arasından herhangi biri bu derslerin her ikisini de alıyorsa eşitliğin solunda yine sayılmaz, fakat sağındaki her küme içinde $1$ kez sayılır. Bu durumda da eşitlik tekrar sağlanır. Çünkü $0 = 1 - \left( {1 + 1} \right) + 1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2 \end{array}} \right)$ dir. Böylece eşitliğin genel olarak $k_1$ ve $k_2$ gibi koşullu durumlar için daima sağlanacağını göstermiş olduk.

Örnek 2

Birinci örnekteki iki derse ek olarak 36 kişinin de Fransızca dersini, 10 kişinin hem Fransızca hem de İnsan hakları hukuku dersini, 7 kişinin hem Fransızca hem de Spor hukuku dersini ve 15 kişinin de bu üç dersi aldığını düşünelim. Fransızca dersini alan öğrencilerin oluşturduğu kümeyi de $k_3$ ile gösterirsek $s\left( {{k_3}} \right) = 36$, $s\left( {{k_1}{k_3}} \right) = 10$, $s\left( {{k_2}{k_3}} \right) = 7$ ve $s\left( {{k_1}{k_2}{k_3}} \right) = 15$ yazılabilir. Bu durumda bu üç dersin hiçbirini almayanların oluşturduğu kümenin elaman sayısı $$\begin{align*} s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} } \right) &= |H| - \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right) + s\left( {{k_3}} \right)} \right]\\& + \left[ {s\left( {{k_1}{k_2}} \right) + s\left( {{k_1}{k_3}} \right) + s\left( {{k_2}{k_3}} \right)} \right] - s\left( {{k_1}{k_2}{k_3}} \right)\\ &  = 200 - \left[ {95 + 48 + 36} \right] + \left[ {20 + 10 + 7} \right] - 15\\ &  = 43 \end{align*}$$ bulunur. Yazdığımız bu son eşitlik bir Venn şeması çizilerek elde edilebilir. Ayrıca lise seviyesinde kümeler konusunda gösterilen bir eşitlik olduğu da hatırlanabilir. Birinci örnekte olduğu gibi bu eşitliği de biraz soyut biçimde yorumlayalım.

• 200 kişi arasından herhangi biri bu derslerden hiçbirini almıyorsa eşitliğinde solunda $s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} } \right)$ ve sağında $|H|$ içinde 1 er kez sayılacağı için eşitlik sağlanacaktır.
• 200 kişi arasından herhangi biri bu derslerden sadece birini alıyorsa – örneğin Fransızca – eşitliğin solunda sayılmayacak ama sağında 1 kez $|H|$ içinde 1 kez de $s\left( {{k_3}} \right)$ içinde sayılacağından eşitlik tekrar sağlanacaktır. ($0 = 1 - 1$)
• 200 kişi arasından herhangi biri bu derslerden herhangi ikisini alıyorsa – örneğin Fransızca ve Spor hukuku– eşitliğin solunda sayılmayacak ama sağında 1 er kez $|H|$, $s\left( {{k_3}} \right)$, $s\left( {{k_2}} \right)$ ve $s\left( {{k_2}{k_3}} \right)$ içinde sayılacağından eşitlik tekrar sağlanacaktır. ($0 = 1 - \left( {1 + 1} \right) + 1$)
• Son olarak 200 kişi arasından herhangi biri bu derslerden her üçünü de alıyorsa eşitliğin solunda sayılmayacak ama sağındaki her küme içinde 1 er sayılacağından eşitlik tekrar sağlanacaktır, çünkü bu durumda da $0 = 1 - \left[ {1 + 1 + 1} \right] + \left[ {1 + 1 + 1} \right] - 1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3 \end{array}} \right)$

 

Böylece sonlu bir $H$ kümesinin $k_1$, $k_2$ ve $k_3$ koşullu üç alt kümesinin hiçbirinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümenin eleman sayısı için yukarıdaki eşitliğin daima doğru olduğu göstermiş olduk.

Örnek 3

İlk iki örnekten faydalanırsak, sonlu bir $H$ kümesinin $k_1$, $k_2$, $k_3$ ve $k_4$ gibi dört altkümesinin hiçbirinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümenin eleman sayısının $$\begin{align*} s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} \overline {{k_4}} } \right) &= |H| - \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right) + s\left( {{k_3}} \right) + s\left( {{k_4}} \right)} \right]\\ & + \left[ {s\left( {{k_1}{k_2}} \right) + s\left( {{k_1}{k_3}} \right) + s\left( {{k_1}{k_4}} \right) + s\left( {{k_2}{k_3}} \right) + s\left( {{k_2}{k_4}} \right) + s\left( {{k_3}{k_4}} \right)} \right]\\ & - \left[ {s\left( {{k_1}{k_2}{k_3}} \right) + s\left( {{k_1}{k_2}{k_4}} \right) + s\left( {{k_1}{k_3}{k_4}} \right) + s\left( {{k_2}{k_3}{k_4}} \right)} \right]\\ & + s\left( {{k_1}{k_2}{k_3}{k_4}} \right) \end{align*}$$ eşitliği ile gösterebiliriz. Bunu kanıtlamak için $H$ kümesinin rastgele bir $x$ elemanını düşünelim.

• Eğer $x$ bu alt kümelerden birinde değilse, 1 kez eşitliğin solunda 1 kez de $H$ kümesinde sayılır.
• Eğer $x$ bu alt kümelerden sadece birinde – örneğin $k_1$ – ise, eşitliğin solunda sayılmaz, fakat 1 kez $H$ kümesinde, 1 kez de $k_1$ de sayılır. Yani toplamda $1-1=0$ olup, eşitlik doğrulanır.
• Eğer $x$ bu alt kümelerden sadece ikisinde – örneğin sadece $k_1$ ve $k_2$ de – ise, eşitliğin solunda sayılmaz, fakat 1 er kez $H$, $k_1$, $k_2$ ve $k_{1}k_{2}$ kümelerinde sayılır. Yani toplamda $1 - \left[ {1 + 1} \right] + 1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2 \end{array}} \right) = 0$ olup, eşitlik doğrulanır.
• Eğer $x$ bu alt kümelerden sadece üçünde – örneğin sadece $k_1$, $k_2$ ve $k_3$ te  – ise, eşitliğin solunda sayılmaz, fakat 1 er kez $H$, $k_1$, $k_2$, $k_3$, $k_{1}k_{2}$, $k_{1}k_{3}$, $k_{2}k_{3}$ ve $k_{1}k_{2}k_{3}$ kümelerinde sayılır. Yani toplamda $1 - \left[ {1 + 1 + 1} \right] + \left[ {1 + 1 + 1} \right] - 1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3 \end{array}} \right) = 0$ olup, eşitlik doğrulanır.
• Eğer $x$ bu alt kümelerden hepsinde ise, eşitliğin solunda sayılmaz, fakat eşitliğin sağındaki 16 kümenin her birinde 1 er kez sayılır. Yani toplamda $$\begin{array}{l} 1 - \left[ {1 + 1 + 1 + 1} \right] + \left[ {1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1} \right] - \left[ {1 + 1 + 1 + 1} \right] + 1\\  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4 \end{array}} \right)\\  = 0 \end{array}$$ olup, eşitlik doğrulanır.

Böylece eşitliğin her iki tarafının da herhangi bir $x$ elemanını eşit biçiminde saydığını göstererek eşitliğin doğru olduğunu kanıtlamış olduk.

Teorem

Eleman sayısı $S$ olan bir $H$ kümesinin $1 \le i \le n$ için birbirinden farklı $k_i$ alt kümelerinden hiçbirinde yer almayan elemanlarının sayısını $\overline S  = s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} ...\overline {{k_n}} } \right)$ ile gösterirsek $$\begin{align*} \overline S  &  = S - \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_n}} \right)} \right]\\  &  + \left[ {s\left( {{k_1}{k_2}} \right) + s\left( {{k_1}{k_3}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_1}{k_n}} \right) + s\left( {{k_2}{k_3}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_{n - 1}}{k_n}} \right)} \right]\\  &  - [s\left( {{k_1}{k_2}{k_3}} \right) + s\left( {{k_1}{k_2}{k_4}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_1}{k_2}{k_n}} \right) + s\left( {{k_1}{k_3}{k_4}} \right)\\  &  +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_1}{k_3}{k_n}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_{n - 2}}{k_{n - 1}}{k_n}} \right)]\\  &  +  \cdot  \cdot  \cdot  + {\left( { - 1} \right)^n}s\left( {{k_1}{k_2}...{k_n}} \right) \end{align*}$$ veya  $$\begin{align*} \overline S  & = S - \sum\limits_{1 \le i \le n} {\left[ {s\left( {{k_i}} \right)} \right]} \\  &  + \sum\limits_{1 \le i < j \le n} {\left[ {s\left( {{k_i}{k_j}} \right)} \right]} \\  &  - \sum\limits_{1 \le i < j < t \le n} {\left[ {s\left( {{k_i}{k_j}{k_t}} \right)} \right]} \\  &  +  \cdot  \cdot  \cdot \\  &  + {\left( { - 1} \right)^n}s\left( {{k_1}{k_2}...{k_n}} \right) \end{align*}$$ olur.

 

Kanıt:

Tümevarım yöntemiyle bir kanıt verilebilir. Fakat yukarıdaki örneklerde kullandığımız kanıtların benzerini yapacağız. $H$ kümesinin bir $x$ elemanı bu alt kümelerden hiçbirinde değilse, eşitliğin solunda $\overline S$ ve sağında $S$ içinde 1 er kez sayılırken diğer kümelerde sayılmazlar. Böylece eşitlik bu durumda sağlanır. Diyelim ki $x$ elemanı verilen alt kümelerden $r$ tanesinin elemanı olsun. Bu durumda eşitliğinde solunda bu eleman sayılmaz. Fakat

1. Bir kez $S$ de sayılır.
2. $r$ kez $\sum\limits_{1 \le i \le n} {\left[ {s\left( {{k_i}} \right)} \right]}$ de sayılır.
3. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ 2 \end{array}} \right)$ kez $\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {\left[ {s\left( {{k_i}{k_j}} \right)} \right]}$ de sayılır. ($r$ alt kümeden seçilen 2 alt kümenin kesişimleri)
4. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ 3 \end{array}} \right)$ kez $\sum\limits_{1 \le i < j < t \le n} {\left[ {s\left( {{k_i}{k_j}{k_t}} \right)} \right]}$ de sayılır. ($r$ alt kümeden seçilen 3 alt kümenin kesişimleri)
    ................................................
5. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ r \end{array}} \right)=1$ kez $\sum {s\left( {{k_{{i_1}}}{k_{{i_2}}}{k_{{i_3}}}...{k_{{i_r}}}} \right)}$ de sayılır.

Sonuç olarak $x$ elemanı eşitliğin sağında (binom açılımı gereği) $$1 - r + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ 3 \end{array}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + {\left( { - 1} \right)^r}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ r \end{array}} \right) = {\left[ {1 + \left( { - 1} \right)} \right]^r} = 0$$ kez sayılır.

Böylece eşitliğin herhangi bir $x$ elemanını her iki tarafında da eşit saydığını göstermiş oluruz.

Farklı örneklere geçmeden önce gösterim biçimi olarak $${S_0} = S$$ $${S_1} = \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_n}} \right)} \right]$$ $${S_2} = \left[ {s\left( {{k_1}{k_2}} \right) + s\left( {{k_1}{k_3}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_1}{k_n}} \right) + s\left( {{k_2}{k_3}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_{n - 1}}{k_n}} \right)} \right]$$ ve genel olarak  $${S_k} = \sum {s\left( k_{i_1}k_{i_2}k_{i_3}...k_{i_r} \right)} , \qquad (1 \le r \le n)$$ seçersek $$\overline S  = {S_0} - {S_1} + {S_2} - {S_3} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {\left( { - 1} \right)^n}{S_n}$$ biçimini alır.

Örnek 5

$x_1$, $x_2$, $x_3$ ve $x_4$ doğal sayıları için ${x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 15$ ve ${x_i} \le 6$ ($i \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}$) koşullarını sağlayan kaç farklı $\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right)$ sıralı dörtlüsü vardır?

 

Çözüm

Tekrarlı gruplandırma (kombinasyon) gereği sadece ${x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 15$ eşitliğini sağlayan $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15 + 4 - 1}\\ {4 - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {18}\\ 3 \end{array}} \right)$ kadar sıralı dörtlü yazılabilir. Diğer koşulu sağlamak için ${k_i}$ alt kümesi ${x_i} \ge 7$ olacak biçimde tanımlayalım. Simetri gereği $s\left( {{k_1}} \right) = s\left( {{k_2}} \right) = s\left( {{k_3}} \right) = s\left( {{k_4}} \right)$ olacaktır. ${k_i}$ alt kümesinin eleman sayısını bulmak için ${x_i}$ değerini 7 den başlatmamız gerekir. Böylece ${x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 8$ denkleminin çözüm sayısı $s\left( {{k_1}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {8 + 4 - 1}\\ {4 - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}\\ 3 \end{array}} \right)$ olur. Böylece, ${S_1} = 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}\\ 3 \end{array}} \right)$ olur. Benzer biçimde $x_1$ ve $x_2$ değerlerinin her ikisini de 7 den başlatırsak, $s\left( {{k_1}{k_2}} \right)$ değeri ${x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 4$ denkleminin çözüm sayısı olur. Böylece, $s\left( {{k_1}{k_2}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 4 - 1}\\ {4 - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right)$ olurken, ${S_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right)$ olur. Ayrıca, $x_i$ değerlerinden üçünü birden 7 den başlatamayacağımızdan $s\left( {{k_i}{k_j}{k_t}} \right) = 0$ ve $s\left( {{k_1}{k_2}{k_3}{k_4}} \right) = 0$ dır. O halde istenilen koşulları sağlayan dörtlülerin sayısı $$\begin{align*} s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} \overline {{k_4}} } \right)  & = {S_0} - {S_1} + {S_2} - {S_3} + {S_4} \\  & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  {18}\\  3  \end{array}} \right) - 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  {11}\\  3  \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4\\  2  \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  4\\  3  \end{array}} \right) - 0 + 0 \\  & =180 \end{align*}$$ bulunur.

Örnek 6 (Örten Fonksiyon Sayısı)

$m \ge n$ olmak üzere, $A = \left\{ {{a_1},{a_2}, \cdot  \cdot  \cdot ,{a_m}} \right\}$ ve $B = \left\{ {{b_1},{b_2}, \cdot  \cdot  \cdot ,{b_n}} \right\}$ sonlu kümelerinde $A$ dan $B$ ye kaç farklı örten fonksiyon tanımlanabilir?

 

Çözüm:

$f:A \to B$ olacak biçimde $A$ dan $B$ ye ${n^m}$ farklı $f$ fonksiyonunun tanımlanabileceğini biliyoruz. Bu durumda $S = {S_0} = {n^m}$ olsun. $1 \le i \le n$ olmak üzere $A$ dan $B$ ye tanımlı tüm fonksiyonlar kümesinin $b_i$ elemanını içermeyen alt kümesini $k_i$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $k_i$ kümesindeki fonksiyonların değer kümesinde $b_i$ elemanı yer almaz. Böylece $s\left( {\overline {{k_i}} } \right)$, değer kümesinde $b_i$ elemanı bulunan fonksiyonların sayısını vereceğinden, $A$ dan $B$ ye tanımlı örten fonksiyon sayısı $s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}}  \cdot  \cdot  \cdot \overline {{k_n}} } \right)$ olur. Dikkat edilirse $B$ kümesinden $b_i$ elemanını çıkardığımız için $s\left( {{k_i}} \right) = {\left( {n - 1} \right)^m}$ dir. Benzer biçimde $1 \le i < j \le n$ olmak üzere, $b_i$ ve $b_j$ elemanlarını değer kümesinde içermeyen fonksiyon sayısı $s\left( {{k_i}{k_j}} \right) = {\left( {n - 2} \right)^m}$ dir. Böylece $${S_1} = \left[ {s\left( {{k_1}} \right) + s\left( {{k_2}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_n}} \right)} \right] = n \cdot {\left( {n - 1} \right)^m}$$ ve $${S_2} = \left[ {s\left( {{k_1}{k_2}} \right) +  \cdot  \cdot  \cdot  + s\left( {{k_{n - 1}}{k_n}} \right)} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {\left( {n - 2} \right)^m}$$ dir. Genel olarak, $1 \le r \le n$ olmak üzere, $${S_r} = \sum\limits_{1 \le {i_1} < {i_2} <  \cdot  \cdot  \cdot  < {i_r} \le n} {s\left( {{k_{{i_1}}}{k_{{i_2}}} \cdot  \cdot  \cdot {k_{{i_r}}}} \right)}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ r \end{array}} \right) \cdot {\left( {n - r} \right)^m}$$ dir. Bu durumda $A$ dan $B$ ye örten fonksiyon sayısı $$\begin{align*} s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}}  \cdot  \cdot  \cdot \overline {{k_n}} } \right)  &  = {S_0} - {S_1} + {S_2} - {S_3} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {\left( { - 1} \right)^n}{S_n}\\  &  = {n^m} - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {\left( {n - 1} \right)^m} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {\left( {n - 2} \right)^m} - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {\left( {n - 3} \right)^m}\\  &  +  \cdot  \cdot  \cdot  + {\left( { - 1} \right)^n} \cdot {\left( {n - n} \right)^m}\\  &  = \sum\limits_{i = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right){{\left( {n - i} \right)}^m}} \end{align*}$$ olarak bulunur.

Örneğin 4 elemanlı bir $A$ kümesinden 3 elemanlı bir $B$ kümesine tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı $m=4$ ve $n=3$ için $$\begin{align*} s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} } \right)  & = {S_0} - {S_1} + {S_2} - {S_3}\\  & = \sum\limits_{i = 0}^3 {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ i \end{array}} \right){{\left( {3 - i} \right)}^4}} \\  & = {3^4} - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {2^4} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {1^4} - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3 \end{array}} \right) \cdot 0\\  & = 36 \end{align*}$$ olur.

Örnek 7 (Evli Çiftler)

4 evli çift yuvarlak bir masa etrafında herhangi karı-koca yanyana gelmeyecek biçimde kaç farkı biçimde oturabilir?

 

Çözüm:

Öncelikle $1 \le i \le 4$ olmak üzere, $k_i$ ile $i.$ karı-kocanın yanyana oturduğu durumları ifade edelim. Bu durumda bunları 1 kişi gibi sayıp, toplamda 7 kişiyi yuvarlak bir masa etrafında sıralamış oluruz. Tabii karı-kocanın kendi arasındaki 2 farklı biçimde yer değiştirme durumlarını da göz önüne almamız gerekir. O halde $s\left( {{k_i}} \right) = 2 \cdot \left( {7 - 1} \right)! = 2 \cdot 6!$ olur. Bu durumda ${S_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right) \cdot 2 \cdot 6!$ dir. Benzer biçimde 2 çiftin birlikte oturduğu durum sayısı ${S_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {2^2} \cdot 5!$ olur. 3 çiftin yanyana oturduğu durum sayısı ${S_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {2^3} \cdot 4!$ ve tüm çiftlerin yanyana oturduğu durum sayısı ${S_4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {2^4} \cdot 3!$ dir. Ayrıca koşulsuz bu 8 kişinin yuvarlak masada oturma sayısı da ${S_0} = 7!$ dir. O halde, $$\begin{align*} s\left( {\overline {{k_1}} \overline {{k_2}} \overline {{k_3}} \overline {{k_4}} } \right)  & = {S_0} - {S_1} + {S_2} - {S_3} + {S_4}\\  & = 7! - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right) \cdot 2 \cdot 6! + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {2^2} \cdot 5! - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {2^3} \cdot 4! + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {2^4} \cdot 3!\\  & = 5040 - 5760 + 2880 - 768 + 96\\  & = 1488 \end{align*}$$ bulunur.