Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!
\(R^3\) te şekildeki gibi birbirine paralel $$E_1:Ax+By+Cz+D_1=0$$ ve $$E_2:Ax+By+Cz+D_2=0$$ düzlemleri verilsin. Her iki düzleminde normal vektörünün \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) olduğuna dikkat edin. \(A(x_1,y_1,z_1)\) ve \(B(x_2,y_2,z_2)\) noktaları sırasıyla \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemlerine ait olsun. Denklemlerde yerine yazarsak
$$d(E_1,E_2)=\left |\dfrac{<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>}{||\overrightarrow{N}||} \right |$$ olacaktır. Şimdi önce iç çarpımı hesaplayalım:
\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\) ve \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) olduğundan $$\begin{matrix}<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>=Ax_2+By_2+Cz_2-(Ax_1+By_1+Cz_1)\\ \\ \Rightarrow <\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>=D_1-D_2 \end{matrix}$$ olur.
O halde
Örnek 1
\(R^3\) te \(E_1:2x-y+2z-5=0\) ve \(E_2:2x-y+2z+4=0\) düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm
Düzlemlerin birbirine paralel olduğu açıktır. Doğrudan yukarıdaki formülü kullanabilme üzerine bir örnek olduğundan
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | -5-4 \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3$$ bulunur.
Örnek 2
\(R^3\) te \(E_1:2x-2y+2z-7=0\) ve \(E_2:-x+y-z+8=0\) düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm
\(E_2\) düzleminin denklemini \(-2\) ile genişletirsek \(E_2:2x-2y+2z-16=0\) olur ve \(E_1\) ile paralel olduğu görülür. O halde
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | -7-(-16) \right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ bulunur.
Örnek 3
 |
\(R^3\) te şekildeki gibi eksenleri kestikleri noktaların ilgili koordinatları verilen düzlemler arasındaki uzaklık kaç birimdir? |
Çözüm
Düzlemlerin denklemlerini bulalım.
$$E_1:\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{3}=1\Rightarrow E_1:3x+6y-2z+6=0$$
$$E_2:\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{-3}=1\Rightarrow E_2:3x+6y-2z-6=0$$ olur. O halde
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | 6-(-6) \right|}{\sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}}=\dfrac{12}{7}$$ bulunur.