Soru 1
\(A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}\) kümesinin alt kümelerinin eleman sayılarının toplamı kaçtır?
\(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerinin eleman sayılarının toplamını veren bir formül elde ediniz.
Çözüm
Öncelikle şu soruya cevap arayalım: \(A\) kümesinin herhangi bir elemanı kaç alt kümede bulunur? Örneğin \(A\) kümesinin kaç alt kümesinde "\(1\)" eleman olarak bulunur? Bunun cevabı basit, tabii ki \(2^8\) farklı alt kümede "\(1\)" eleman olarak bulunur. Yani "\(1\)" elemanı, alt kümelerin eleman sayılarının toplamı hesaplanırken, \(2^8\) defa sayılacaktır. Aynı durum diğer elemanlar için de geçerlidir. Her bir eleman \(2^8\) farklı alt kümenin bir elemanı olacak ve alt kümelerin eleman sayılarının toplamı hesaplanırken her biri \(2^8\) defa sayılacaktır. O halde cevabımız \(9.2^8\) dir.
Demek ki \(n\) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin eleman sayılarının toplamı \(n.2^{n-1}\) dir.
Aslında bu cevabımızla bir özdeşlik elde etmiş oluyoruz:$$1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+...+n\binom{n}{n}=n.2^{n-1}$$ dir.
Soru 2
\(A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamı kaçtır?
\(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamını veren bir formül elde ediniz.
Çözüm
İlk sorudaki çözüm mantığımızla bu sorumuzun cevabı da \((1+2+3+...+9)2^{8}=45.2^8\) olur. Genel olarak \(A= \left \{ 1,2,3,...,n \right \}\) kümesinin alt kümelerindeki sayıların toplamı $$(1+2+3+...+n)2^{n-1}=n(n+1).2^{n-2}$$ olacaktır.