\(n\) elemanlı bir \(A\) kümesinin elemanları \(1\) den \(n\) ye kadar numaralandırıyor. Bu kümenin alt kümelerinden herhangi biri seçiliyor. Seçilen alt kümenin eleman sayısı \(r\) olduğuna göre, bu kümede \(A\) kümesinin \(r\) ninci elemanının bulunma olasığı nedir?
Çözümleriniz için aşağıdaki yorum bölümünü kullanabilirsiniz.
Çözüm
Seçilen kümenin eleman sayısı \(r\) olduğuna göre \(r\) elemanlı alt kümelerin sayısı
$$\binom{n}{r}$$ olur.
Bu kümelerden \(r\) ninci elemanı içeren herhangi biri \(B\) olsun. Bu eleman dışında, \(B\) kümesinin eleman sayısını \(r\) ye tamamlayabilmek için, \(A\) kümesinde geriye kalan \(n-1\) elemandan \(r-1\) eleman daha seçmeliyiz. O halde içinde \(r\) ninci eleman bulunan \(r\) elemanlı kümelerin sayısı
$$\binom{n-1}{r-1}$$ olur.
O halde istenilen olasılık
$$P=\dfrac{\dbinom{n-1}{r-1}}{\dbinom{n}{r}}=\dfrac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}.\dfrac{(n-r)!r!}{n!}=\dfrac{r}{n}$$ bulunur.