Soruda geçen \(\pm\) yerine \(+\) kullanarak çözüm vereceğim. \(-\) için çözümü ilgililer yapabilir.

Öncelikle \[|a + |bx + c|| = dx + e\] denkleminin ilk mutlak değerinden kurtulalım: \[|bx + c| = dx + e-a\] veya \[|bx + c| = -dx - e-a\] olur. Her iki tarafında karesini alarak ikinci mutlak değerden kurtulalım: \[{b^2}{x^2} + 2bcx + {c^2} = {d^2}{x^2} + 2d(e - a)x + {(e - a)^2}\] veya \[{b^2}{x^2} + 2bcx + {c^2} = {d^2}{x^2} + 2d(e + a)x + {(e + a)^2}\] olur. Düzenlersek, \[({b^2} - {d^2}){x^2} + 2[bc - d(e - a)]x + {c^2} - {(e - a)^2} = 0 \quad (1)\] veya \[({b^2} - {d^2}){x^2} + 2[bc - d(e + a)]x + {c^2} - {(e + a)^2} = 0 \quad (2)\] elde edilir. \((1)\) nolu denklemde \(({b^2} - {d^2}){x^2}\) ifadesini 

\[\begin{array}{l}
(b + d)x\\
(b - d)x
\end{array}\] biçiminde, \({c^2} - {(e - a)^2}\) ifadesini de 

\[\begin{array}{l}
c + (e - a)\\
c - (e - a)
\end{array}\] biçiminde ayırıp çapraz çarpımı gerçekleştirirsek denklemin orta terimi olan \[2[bc - d(e - a)]x\] ifadesini elde ederiz. O halde \((1)\) nolu denklemin çarpanlara ayrılmış biçimi \[[(b + d)x + c + e - a] \cdot [(b - d)x + c - e + a] = 0\] olur. Bu ifadeden denklemin olası kökleri \[{x_1} =  - \frac{{c + e - a}}{{b + d}} \quad {x_2} =  - \frac{{c - e + a}}{{b - d}}\] olur. 

Benzer biçimde \((2)\) nolu denklemde, \(({b^2} - {d^2}){x^2}\) ifadesini 

\[\begin{array}{l}
(b + d)x\\
(b - d)x
\end{array}\] biçiminde, \({c^2} - {(e + a)^2}\) ifadesini de 

\[\begin{array}{l}
c + (e + a)\\
c - (e + a)
\end{array}\] biçiminde ayırıp çapraz çarpımı gerçekleştirirsek denklemin orta terimi olan \[2[bc - d(e + a)]x\] ifadesini elde ederiz. O halde \((2)\) nolu denklemin çarpanlara ayrılmış biçimi \[[(b + d)x + c + e + a] \cdot [(b - d)x + c - e - a] = 0\] olur. Bu ifadeden denklemin olası kökleri \[{x_3} =  - \frac{{c + e + a}}{{b + d}} \quad {x_4} =  - \frac{{c - e - a}}{{b - d}}\] olur. Bu kökler derlenip soruda verilen biçimde gösterilebilir.