Şekildeki gibi çemberlerin merkezleri ile teğetin değme noktalarını birleştirelim.

\(ADO_1\) dik üçgeninde \[|AD|=\sqrt{x^2+2ax}\] \(AEO_2\) dik üçgeninde \[|AE|=\sqrt{x^2+2bx}\] bulunur. 

Şimdi aşağıdaki şekildeki gibi çemberlerin merkezlerini birleştirelim. Ayrıca \(O_1\) den geçen \(d\) ye paralel olan \([FO_1]\) nı çizelim.

\(|FO_{2}|=b-a\) ve \(|O_{1}O_{2}|=a+b\) olduğundan \[|FO_1|=|DE|=\sqrt{4ab}\] bulunur. \(|AD|+|AE|=|DE|\) olduğundan \[\sqrt {{x^2} + 2ax}  + \sqrt {{x^2} + 2bx}  = \sqrt {4ab} \] olur. Her iki tarafında karesini alırsak 

\[\begin{array}{l}
{x^2} + 2ax + {x^2} + 2bx + 2\sqrt {\left( {{x^2} + 2ax} \right) \cdot \left( {{x^2} + 2bx} \right)} = 4ab\\
\Rightarrow {x^2} + 2ax + {x^2} + 2bx - 4ab = - 2\sqrt {\left( {{x^2} + 2ax} \right) \cdot \left( {{x^2} + 2bx} \right)}
\end{array}\] denklemi elde edilir. Bu denklemde \({x^2} + 2ax = m\) ve \({x^2} + 2bx = n\) alırsak, \[m + n - 4ab =  - 2\sqrt {mn} \] biçimini alır. Her iki tarafın karesi alırsak 

\[\begin{array}{l}
{m^2} + 2mn + {n^2} - 8ab\left( {m + n} \right) + 16{a^2}{b^2} = 4mn\\
\Rightarrow {\left( {m - n} \right)^2} - 8ab\left( {m + n} \right) + 16{a^2}{b^2} = 0
\end{array}\] elde edilir. \(m\) ve \(n\) değerlerini yerini yazıp düzenlersek, \[{x^2}\left( {{a^2} + {b^2} - 6ab} \right) - x\left( {4ab\left( {a + b} \right)} \right) + 4{a^2}{b^2} = 0\] ikinci derece denklemi elde edilir. Bu denklem için diskriminant \[\Delta  = 108{a^3}{b^3}\] bulunur. Böylece denklemin kökleri \[{x_{1,2}} = \frac{{2ab\left[ {(a + b) \pm 2\sqrt {2ab} } \right]}}{{{a^2} + {b^2} - 6ab}}\] olur. İfadeyi, pay kısmında yer alan \({(a + b) \pm 2\sqrt {2ab} }\) ifadesinin eşleniği ile genişletirsek \[\frac{{2ab\left[ {(a + b) \pm 2\sqrt {2ab} } \right]}}{{{a^2} + {b^2} - 6ab}} \cdot \frac{{(a + b) \mp 2\sqrt {2ab} }}{{(a + b) \mp 2\sqrt {2ab} }} = \frac{{2ab}}{{(a + b) \mp 2\sqrt {2ab} }}\] elde edilir. O halde bu denklemin kökleri \[{x_{1,2}} = \frac{{2ab}}{{(a + b) \mp 2\sqrt {2ab} }}\] dir. \(x\) değeri bir uzunluk olarak pozitif olacağından, sorumuzda verilen \(x\) için \[x = \frac{{2ab}}{{a + b + 2\sqrt {2ab} }}\] olduğu kanıtlanmış olur.

\(AO_{1}O_{2}\) üçgeninin kenar uzunlukları \(|AO_{1}|=a+x\), \(|AO_{2}|=b+x\) ve \(|O_{1}O_{2}|=a+b\) olduğundan \[u=a+b+x\] olur. Heron alan formülü kullanılırsa \[|A{O_1}{O_2}| = \sqrt {abx\left( {a + b + x} \right)} \] olduğu görülür. Elde ettiğimiz \(x\) değeri yerine yazılıp bu eşitlik düzenlenirse istenilen \[|A{O_1}{O_2}| = \frac{{\sqrt 2 ab\left( {a + b + \sqrt {2ab} } \right)}}{{a + b + 2\sqrt {2ab} }}\] formülü elde edilir.