Verilen parabolün dik kesişine teğetlerinden rastgele ikisinin kesiştiği nokta \(P(x_0,y_0)\) olsun. Bu teğetlerin eğimlerine sırasıyla \({m_1}\) ve \({m_2}\) diyelim. Bu durumda teğetlerin denklemleri sırasıyla \[y = {m_1}(x - {x_0}) + {y_0}\] ve \[y = {m_2}(x - {x_0}) + {y_0}\] olacaktır. Biz eğimlere genel olarak \(m\) diyerek her iki teğeti de kapsayan \[y = m(x - {x_0}) + {y_0}\] denklemini yazalım. Teğetler ile parabolün kesim noktası tek olduğundan, bu denklem ile parabolün denkleminin ortak çözümünden elde edilecek olan 2. dereceden bir bilinmeyenli denklemin tek kökü yani diskriminantı 0 a eşit olmalıdır: \[\begin{array}{*{20}{c}} {m(x - {x_0}) + {y_0} = a{x^2} + bx + c}\\ { \Rightarrow a{x^2} + x(b - m) + c + m{x_0} - {y_0} = 0} \end{array}\] olacağından \[\begin{array}{l} \Delta  = {(b - m)^2} - 4a(c + m{x_0} - {y_0}) = 0\\  \Rightarrow {m^2} + m( - 2b - 4a{x_0}) + {b^2} - 4ac + 4a{y_0} = 0 \end{array}\] elde edilir. Elde edilen \(m\) ye bağlı bu 2.dereceden denklemden elde edilecek olan \({m_1}\) ve \({m_2}\) kökleri teğetlerin eğimleri olacaktır. Fakat biliyoruz ki teğetler dik kesişmektedir. O halde \[{m_1} \cdot {m_2} =  - 1\] dir. Bu durumda elde ettiğimiz \(m\) ye bağlı bu 2.dereceden denklemde \[\begin{array}{l} \dfrac{c}{a} =  - 1\\  \Rightarrow \dfrac{{{b^2} - 4ac + 4a{y_0}}}{1} =  - 1\\  \Rightarrow \Delta  + 4a{y_0} =  - 1\\  \Rightarrow {y_0} =  - \dfrac{{\Delta  + 1}}{{4a}} \end{array}\] elde edilir. O halde dik kesişen teğetlerin kesim noktasının ordinatı daima bu değere eşittir. Demek ki bu noktalar \[y =  - \dfrac{{\Delta  + 1}}{{4a}}\] doğrusu üzerindedir.

Böylece ispat tamamlanmış olur.

Şimdi, parabolün denklemi genel konik denklemine dönüştürelim. \[\begin{array}{l}
y = a\left[ {{x^2} + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}} \right]\\  \Rightarrow y = a\left[ {{x^2} + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \dfrac{c}{a}} \right]\\  \Rightarrow \dfrac{1}{a}y = \left[ {{{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right]\\  \Rightarrow \dfrac{1}{a}y = {\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{\Delta }{{4{a^2}}}\\  \Rightarrow \dfrac{1}{a}\left( {y + \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right) = {\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} \end{array}\] elde edilir. Böylece merkezi \[M\left( { - \dfrac{b}{{2a}}, - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\] ve parametresi \[p = \dfrac{1}{{2a}}\] olan ötelenmiş parabol denklemi elde ederiz. Öteleme vektörü \[\overrightarrow u  = \left( {-\dfrac{b}{{2a}},-\dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\] olduğundan parabolün doğrultmanı \[\begin{array}{l}
y =  - \dfrac{p}{2} - \dfrac{\Delta }{{4a}}\\  \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{{4a}} - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - \dfrac{{\Delta  + 1}}{{4a}} \end{array}\] olur. Demek ki parabolün dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri aynı zamanda parabolün doğrultmanıdır.